Решение Задачи №6: Расчет Коэффициента Корреляции и Параметров Регрессии

Ниже представлено решение задачи №6, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №6. Решение 1. Составим расчетную таблицу для определения коэффициента корреляции и параметров регрессии (\(n = 10\)): \(X\): 1,5; 2,0; 1,8; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 3,8; 2,8; 3,2. Сумма \(\sum X = 28,1\) \(Y\): 100; 115; 108; 120; 130; 140; 150; 145; 110; 126. Сумма \(\sum Y = 1244\) Вычислим средние значения: \[\bar{x} = \frac{28,1}{10} = 2,81\] \[\bar{y} = \frac{1244}{10} = 124,4\] 2. Вычислим необходимые суммы для коэффициента корреляции: \(\sum X^2 = 1,5^2 + 2,0^2 + ... + 3,2^2 = 85,11\) \(\sum Y^2 = 100^2 + 115^2 + ... + 126^2 = 157350\) \(\sum XY = 1,5 \cdot 100 + 2,0 \cdot 115 + ... + 3,2 \cdot 126 = 3615,3\) 3. Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции Пирсона: \[r_{xy} = \frac{n \sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{[n \sum X^2 - (\sum X)^2][n \sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}\] \[r_{xy} = \frac{10 \cdot 3615,3 - 28,1 \cdot 1244}{\sqrt{[10 \cdot 85,11 - 28,1^2][10 \cdot 157350 - 1244^2]}}\] \[r_{xy} = \frac{36153 - 34956,4}{\sqrt{[851,1 - 789,61][1573500 - 1547536]}} = \frac{1196,6}{\sqrt{61,49 \cdot 25964}} \approx \frac{1196,6}{1263,5} \approx 0,947\] Интерпретация: Связь между затратами на рекламу и объемом продаж прямая (так как \(r > 0\)) и весьма высокая/сильная (по шкале Чеддока, так как \(0,9 < 0,947 < 1,0\)). 4. Построим уравнение прямой регрессии \(Y = a + bX\): Коэффициент регрессии \(b\): \[b = \frac{n \sum XY - \sum X \sum Y}{n \sum X^2 - (\sum X)^2} = \frac{1196,6}{61,49} \approx 19,46\] Коэффициент \(a\): \[a = \bar{y} - b\bar{x} = 124,4 - 19,46 \cdot 2,81 \approx 124,4 - 54,68 = 69,72\] Уравнение регрессии: \(\hat{y} = 69,72 + 19,46x\) Экономический смысл: Коэффициент \(b = 19,46\) показывает, что при увеличении затрат на рекламу на 1 тыс. руб., объем продаж в среднем вырастет на 19,46 тыс. руб. Коэффициент \(a = 69,72\) — это усредненный объем продаж при нулевых затратах на рекламу. 5. Прогноз: Прогнозное значение затрат \(X_{prog} = 1,1 \cdot \bar{x} = 1,1 \cdot 2,81 = 3,091\) тыс. руб. \[\hat{y}_{prog} = 69,72 + 19,46 \cdot 3,091 \approx 129,87 \text{ тыс. руб.}\] 6. Проверка значимости \(r_{xy}\) (\(\alpha = 0,05\)): Наблюдаемое значение критерия Стьюдента: \[t_{nabl} = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \frac{0,947 \sqrt{8}}{\sqrt{1-0,947^2}} \approx \frac{2,678}{0,321} \approx 8,34\] Критическое значение \(t_{krit}(0,05; 8) = 2,306\). Так как \(|t_{nabl}| > t_{krit}\) (\(8,34 > 2,306\)), коэффициент корреляции значим, связь реальна.