Радиус сходимости степенного ряда: решение и формулы

Задача: Радиус сходимости степенного ряда \( c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \dots + c_n(x-a)^n + \dots \) можно найти по формуле. Степенной ряд имеет вид: \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \] Радиус сходимости \( R \) для степенного ряда можно найти по двум основным формулам: 1. По формуле Коши-Адамара (корневой признак): \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \] Если предел существует, то: \[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \] 2. По формуле Даламбера (признак отношения): \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \] при условии, что этот предел существует. Рассмотрим предложенные варианты: 1. \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \] Это одна из стандартных формул для радиуса сходимости. 2. \[ \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \] Это также одна из стандартных формул для радиуса сходимости (формула Коши-Адамара). 3. \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| \] Эта формула дает величину \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| \). Радиус сходимости в этом случае равен \( R = \frac{1}{L} \). То есть, это не сам радиус сходимости, а его обратная величина. 4. \[ \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|} \] Это также одна из стандартных формул для радиуса сходимости. Она эквивалентна первой формуле, так как \( \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \). Таким образом, все варианты 1, 2 и 4 являются корректными формулами для нахождения радиуса сходимости. Однако, обычно в задачах с множественным выбором подразумевается выбор наиболее прямой или часто используемой формулы, или же все корректные варианты. Если нужно выбрать *одну* формулу, то чаще всего используют либо формулу Даламбера, либо Коши-Адамара. В данном случае, все три формулы (1, 2, 4) являются верными для нахождения радиуса сходимости. Если это вопрос с одним правильным ответом, то это может быть любой из них. Если можно выбрать несколько, то все три. Предположим, что нужно выбрать наиболее распространенные или прямые формулы. Формулы для радиуса сходимости \( R \): 1. По признаку Даламбера: \( R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \) 2. По признаку Коши-Адамара: \( R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \) Обе эти формулы представлены в вариантах. Вариант 1: \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \) - это прямая формула. Вариант 2: \( \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \) - это прямая формула. Вариант 4: \( \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|} \) - это также прямая формула, которая является перевернутой версией предела из признака Даламбера для сходимости. Если бы был вариант \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| \), то это была бы обратная величина радиуса сходимости, а не сам радиус. В данном случае, все три отмеченные формулы (1, 2, 4) являются корректными для нахождения радиуса сходимости. Если нужно выбрать один, то обычно выбирают одну из двух основных форм. Давайте выберем наиболее часто используемые формы. Формула 1: \( R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \) Формула 2: \( R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \) Обе эти формулы являются правильными. Если это вопрос с одним выбором, то обычно выбирают одну из них. В контексте школьной программы или начального курса ВУЗа, обе формулы равнозначны. Если нужно выбрать только один ответ, и нет дополнительных указаний, то можно выбрать любой из них. Например, первый вариант. Ответ: Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \] или \[ \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \] или \[ \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|} \] Все три эти формулы являются верными.