Радиус сходимости степенного ряда: решение и формулы

Радиус сходимости степенного ряда \(c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \dots + c_n(x-a)^n + \dots\) можно найти по формуле: Для степенного ряда вида \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n\), радиус сходимости \(R\) может быть найден по одной из следующих формул: 1. По формуле Коши-Адамара: \[R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\] Если предел существует, то: \[R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\] 2. По признаку Даламбера (если предел существует): \[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\] Рассмотрим предложенные варианты: 1. \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\) Это соответствует формуле радиуса сходимости по признаку Даламбера. 2. \(\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\) Это соответствует формуле радиуса сходимости по признаку Коши-Адамара. 3. \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|\) Это обратная величина радиуса сходимости, то есть \(\frac{1}{R}\). 4. \(\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|}\) Это также соответствует формуле радиуса сходимости, так как \(\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\). В данном случае, из предложенных вариантов, наиболее точно представлены две основные формулы для нахождения радиуса сходимости. Обычно в тестах подразумевается выбор одной из них. Если нужно выбрать один наиболее общий или часто используемый вариант, то оба первых варианта являются верными формулами для радиуса сходимости. Однако, если нужно выбрать один из предложенных, то оба варианта 1 и 2 являются корректными. Давайте перепишем их для удобства: 1. Радиус сходимости \(R\) можно найти по формуле: \[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\] 2. Радиус сходимости \(R\) можно найти по формуле: \[R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\] Оба этих варианта являются правильными формулами для нахождения радиуса сходимости степенного ряда. В зависимости от конкретного ряда, одна из формул может быть удобнее для применения. Если это вопрос с одним правильным ответом, то обычно выбирают ту формулу, которая представлена в наиболее "чистом" виде. В данном случае, оба первых варианта представлены корректно. Предположим, что нужно выбрать один из вариантов, который является *одной из* формул. Оба первых варианта являются таковыми. Если бы был только один из них, то он был бы единственным правильным. Поскольку представлены оба, и они оба верны, то без дополнительного контекста сложно выбрать "более правильный". Однако, чаще всего в учебниках первой приводят формулу по признаку Даламбера. Выберем первый вариант, как наиболее часто используемый в задачах на радиус сходимости: \[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|\]