Г-9 КР-2 «Метрические соотношения в окружности»
ВАРИАНТ 2
Задача 1.
Из точки C к окружности проведены касательная и секущая. D – точка касания, CD = 8 см. Секущая пересекает окружность в точках A и B, считая от точки C. CB = 16 см. Найдите длину отрезка CA.
Решение:
По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины всей секущей на длину ее внешней части.
В нашем случае:
CD – касательная, CD = 8 см.
CB – секущая, CB = 16 см.
CA – внешняя часть секущей.
Применим формулу:
\[CD^2 = CA \cdot CB\]
Подставим известные значения:
\[8^2 = CA \cdot 16\]
\[64 = CA \cdot 16\]
Чтобы найти CA, разделим 64 на 16:
\[CA = \frac{64}{16}\]
\[CA = 4\]
Ответ: Длина отрезка CA равна 4 см.
Задача 2.
В окружность вписан четырехугольник EFKL. Лучи EF и LK пересекаются в точке M. Найдите отрезок MF, если ME = 12 дм, ML = 24 дм, MK = 3 дм.
Решение:
Если лучи EF и LK пересекаются в точке M вне окружности, то для секущих ME и ML, проведенных из точки M, справедливо следующее соотношение:
\[ME \cdot MF = ML \cdot MK\]
Нам даны следующие значения:
ME = 12 дм
ML = 24 дм
MK = 3 дм
Нужно найти MF.
Подставим известные значения в формулу:
\[12 \cdot MF = 24 \cdot 3\]
Вычислим произведение в правой части:
\[12 \cdot MF = 72\]
Чтобы найти MF, разделим 72 на 12:
\[MF = \frac{72}{12}\]
\[MF = 6\]
Ответ: Длина отрезка MF равна 6 дм.
Задача 3.
При пересечении двух хорд одна из них делится на отрезки 12 см и 3 см, а вторая – на отрезки, один из которых меньше другого на 5 см. Найдите длину второй хорды.
Решение:
Пусть две хорды AB и CD пересекаются в точке P внутри окружности.
По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
То есть: \[AP \cdot PB = CP \cdot PD\]
Для первой хорды отрезки равны 12 см и 3 см.
Значит, произведение отрезков первой хорды: \[12 \cdot 3 = 36\]
Для второй хорды пусть один отрезок будет \(x\) см. Тогда другой отрезок, который меньше первого на 5 см, будет \((x - 5)\) см.
Произведение отрезков второй хорды: \[x \cdot (x - 5)\]
Приравняем произведения отрезков:
\[x \cdot (x - 5) = 36\]
Раскроем скобки:
\[x^2 - 5x = 36\]
Перенесем 36 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
\[x^2 - 5x - 36 = 0\]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Общая формула для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
где \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -36\).
Вычислим дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)\]
\[D = 25 + 144\]
\[D = 169\]
Найдем корни уравнения:
\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1}\]
\[x_1 = \frac{5 + 13}{2}\]
\[x_1 = \frac{18}{2}\]
\[x_1 = 9\]
\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1}\]
\[x_2 = \frac{5 - 13}{2}\]
\[x_2 = \frac{-8}{2}\]
\[x_2 = -4\]
Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому \(x = 9\) см.
Тогда отрезки второй хорды равны:
Первый отрезок: \(x = 9\) см.
Второй отрезок: \(x - 5 = 9 - 5 = 4\) см.
Длина второй хорды равна сумме длин этих отрезков:
Длина второй хорды = \(9 + 4 = 13\) см.
Ответ: Длина второй хорды равна 13 см.