Решение задачи на законы Кирхгофа

Дано: \(E_1 = 10\) В \(E_2 = 40\) В \(R_1 = 50\) Ом \(R_2 = 20\) Ом \(R_3 = 50\) Ом \(R_4 = 15\) Ом Найти: \(I_1, I_2, I_3\) — ? Решение: Для решения задачи воспользуемся законами Кирхгофа. 1. По первому закону Кирхгофа для верхнего узла (сумма токов, входящих в узел, равна сумме выходящих): \[I_1 + I_3 = I_2 \quad (1)\] 2. По второму закону Кирхгофа для первого контура (левого). Обход выберем по часовой стрелке: \[I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot (R_2 + R_3) = E_1\] Подставим значения: \[50 \cdot I_1 + I_2 \cdot (20 + 50) = 10\] \[50 I_1 + 70 I_2 = 10 \quad (2)\] 3. По второму закону Кирхгофа для второго контура (правого). Обход выберем против часовой стрелки (в направлении тока \(I_3\)): \[I_3 \cdot R_4 + I_2 \cdot (R_2 + R_3) = E_2\] Подставим значения: \[15 \cdot I_3 + I_2 \cdot (20 + 50) = 40\] \[15 I_3 + 70 I_2 = 40 \quad (3)\] Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} I_1 + I_3 = I_2 \\ 50 I_1 + 70 I_2 = 10 \\ 15 I_3 + 70 I_2 = 40 \end{cases} \] Выразим \(I_1\) и \(I_3\) из второго и третьего уравнений через \(I_2\): \[50 I_1 = 10 - 70 I_2 \Rightarrow I_1 = \frac{10 - 70 I_2}{50} = 0,2 - 1,4 I_2\] \[15 I_3 = 40 - 70 I_2 \Rightarrow I_3 = \frac{40 - 70 I_2}{15} = \frac{8}{3} - \frac{14}{3} I_2\] Подставим эти выражения в первое уравнение: \[(0,2 - 1,4 I_2) + (\frac{8}{3} - \frac{14}{3} I_2) = I_2\] Приведем к общему знаменателю или переведем в десятичные дроби (приблизительно): \[0,2 + 2,667 - 1,4 I_2 - 4,667 I_2 = I_2\] \[2,867 = I_2 + 1,4 I_2 + 4,667 I_2\] \[2,867 = 7,067 I_2\] \[I_2 = \frac{2,867}{7,067} \approx 0,4056 \text{ А}\] Для точности решим в обыкновенных дробях: \[\frac{1}{5} - \frac{7}{5} I_2 + \frac{8}{3} - \frac{14}{3} I_2 = I_2\] Умножим всё на 15: \[3 - 21 I_2 + 40 - 70 I_2 = 15 I_2\] \[43 = 15 I_2 + 21 I_2 + 70 I_2\] \[43 = 106 I_2\] \[I_2 = \frac{43}{106} \approx 0,406 \text{ А}\] Теперь найдем остальные токи: \[I_1 = 0,2 - 1,4 \cdot \frac{43}{106} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5} \cdot \frac{43}{106} = \frac{106 - 301}{530} = -\frac{195}{530} \approx -0,368 \text{ А}\] (Знак минус означает, что реальное направление тока \(I_1\) противоположно указанному на схеме). \[I_3 = I_2 - I_1 = \frac{43}{106} - (-\frac{195}{530}) = \frac{215 + 195}{530} = \frac{410}{530} \approx 0,774 \text{ А}\] Ответ: \(I_1 \approx -0,368\) А; \(I_2 \approx 0,406\) А; \(I_3 \approx 0,774\) А.