Решение задачи: расчет токов I1, I2, I3 по законам Кирхгофа

Для решения данной задачи воспользуемся методом уравнений Кирхгофа. Это классический способ расчета разветвленных электрических цепей. Дано: \(E_1 = 10\) В \(E_2 = 40\) В \(R_1 = 50\) Ом \(R_2 = 20\) Ом \(R_3 = 50\) Ом \(R_4 = 15\) Ом Найти: \(I_1, I_2, I_3\) — ? Решение: 1. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла. Токи \(I_1\) и \(I_3\) входят в узел, а ток \(I_2\) выходит из него: \[I_1 + I_3 = I_2 \quad (1)\] 2. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для двух контуров. Для первого (левого) контура при обходе по часовой стрелке: \[I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot (R_2 + R_3) = E_1\] Подставим числа: \[50 I_1 + I_2 \cdot (20 + 50) = 10\] \[50 I_1 + 70 I_2 = 10 \quad (2)\] Для второго (правого) контура при обходе против часовой стрелки (по направлению тока \(I_3\)): \[I_3 \cdot R_4 + I_2 \cdot (R_2 + R_3) = E_2\] Подставим числа: \[15 I_3 + I_2 \cdot (20 + 50) = 40\] \[15 I_3 + 70 I_2 = 40 \quad (3)\] 3. Решим полученную систему уравнений. Выразим \(I_1\) из (2) и \(I_3\) из (3): \[I_1 = \frac{10 - 70 I_2}{50} = 0,2 - 1,4 I_2\] \[I_3 = \frac{40 - 70 I_2}{15} = \frac{8}{3} - \frac{14}{3} I_2\] Подставим эти выражения в уравнение (1): \[(0,2 - 1,4 I_2) + (\frac{8}{3} - \frac{14}{3} I_2) = I_2\] Для удобства избавимся от дробей, умножив всё уравнение на 15: \[3 - 21 I_2 + 40 - 70 I_2 = 15 I_2\] \[43 - 91 I_2 = 15 I_2\] \[43 = 106 I_2\] \[I_2 = \frac{43}{106} \approx 0,406 \text{ А}\] 4. Найдем остальные токи: \[I_1 = 0,2 - 1,4 \cdot \frac{43}{106} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5} \cdot \frac{43}{106} = \frac{106 - 301}{530} = -\frac{195}{530} \approx -0,368 \text{ А}\] Знак «минус» указывает на то, что в реальности ток \(I_1\) течет в противоположную сторону от выбранного на схеме направления. \[I_3 = I_2 - I_1 = \frac{43}{106} - (-\frac{195}{530}) = \frac{215 + 195}{530} = \frac{410}{530} \approx 0,774 \text{ А}\] Ответ: \(I_1 \approx -0,368\) А; \(I_2 \approx 0,406\) А; \(I_3 \approx 0,774\) А.