Решение задачи по электротехнике: Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Решение задачи по электротехнике (расчет разветвленной цепи постоянного тока). Дано: \(E_1 = 10\) В \(E_2 = 40\) В \(R_1 = 50\) Ом \(R_2 = 20\) Ом \(R_3 = 50\) Ом \(R_4 = 15\) Ом Найти: \(I_1, I_2, I_3\) — ? Решение: Для решения задачи воспользуемся законами Кирхгофа. 1. По первому закону Кирхгофа для верхнего узла (сумма токов, входящих в узел, равна сумме выходящих): \[I_1 + I_3 = I_2\] Отсюда: \[I_1 - I_2 + I_3 = 0 \quad (1)\] 2. По второму закону Кирхгофа для первого контура (левого), обходя его по часовой стрелке: \[I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot (R_2 + R_3) = E_1\] Подставим значения: \[50 \cdot I_1 + (20 + 50) \cdot I_2 = 10\] \[50 I_1 + 70 I_2 = 10 \quad (2)\] 3. По второму закону Кирхгофа для второго контура (правого), обходя его против часовой стрелки (согласно направлению стрелки на схеме): \[I_3 \cdot R_4 + I_2 \cdot (R_2 + R_3) = E_2\] Подставим значения: \[15 \cdot I_3 + 70 \cdot I_2 = 40 \quad (3)\] Получили систему уравнений: \[ \begin{cases} I_1 = I_2 - I_3 \\ 50 I_1 + 70 I_2 = 10 \\ 15 I_3 + 70 I_2 = 40 \end{cases} \] Подставим \(I_1\) из первого уравнения во второе: \[50 \cdot (I_2 - I_3) + 70 I_2 = 10\] \[50 I_2 - 50 I_3 + 70 I_2 = 10\] \[120 I_2 - 50 I_3 = 10 \quad (4)\] Теперь имеем систему из двух уравнений (3) и (4): \[ \begin{cases} 70 I_2 + 15 I_3 = 40 \\ 120 I_2 - 50 I_3 = 10 \end{cases} \] Выразим \(I_3\) из первого уравнения: \[15 I_3 = 40 - 70 I_2\] \[I_3 = \frac{40 - 70 I_2}{15} = \frac{8 - 14 I_2}{3}\] Подставим во второе: \[120 I_2 - 50 \cdot \left( \frac{8 - 14 I_2}{3} \right) = 10\] Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателя: \[360 I_2 - 50 \cdot (8 - 14 I_2) = 30\] \[360 I_2 - 400 + 700 I_2 = 30\] \[1060 I_2 = 430\] \[I_2 = \frac{430}{1060} \approx 0,4056 \text{ А}\] Найдем \(I_3\): \[I_3 = \frac{8 - 14 \cdot 0,4056}{3} \approx \frac{8 - 5,6784}{3} \approx 0,7739 \text{ А}\] Найдем \(I_1\): \[I_1 = I_2 - I_3 = 0,4056 - 0,7739 = -0,3683 \text{ А}\] Знак "минус" означает, что реальное направление тока \(I_1\) противоположно указанному на схеме. Ответ: \(I_1 \approx -0,368 \text{ А}\), \(I_2 \approx 0,406 \text{ А}\), \(I_3 \approx 0,774 \text{ А}\).