Решение задачи: Метрические соотношения в окружности (9 класс)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Г-9 КР-2 «Метрические соотношения в окружности» ВАРИАНТ 2 1. Из точки С к окружности проведены касательная и секущая. D – точка касания, CD = 8 см. Секущая пересекает окружность в точках А и В, считая от точки С. СВ = 16 см. Найдите длину отрезка СА. Решение: Дано: Точка С вне окружности. CD – касательная к окружности, D – точка касания. CD = 8 см. СВ – секущая, пересекает окружность в точках А и В. СВ = 16 см. Найти: СА. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению длины всей секущей на длину ее внешней части. В нашем случае: \[CD^2 = CA \cdot CB\] Подставим известные значения: \[8^2 = CA \cdot 16\] \[64 = CA \cdot 16\] Чтобы найти СА, разделим 64 на 16: \[CA = \frac{64}{16}\] \[CA = 4\] Таким образом, длина отрезка СА равна 4 см. Ответ: 4 см. 2. В окружность вписан четырехугольник EFKL. Лучи EF и LK пересекаются в точке M. Найдите отрезок MF, если ME = 12 дм, ML = 24 дм, MK = 3 дм. Решение: Дано: Четырехугольник EFKL вписан в окружность. Лучи EF и LK пересекаются в точке M. ME = 12 дм. ML = 24 дм. MK = 3 дм. Найти: MF. По свойству пересекающихся хорд (или секущих, если рассматривать лучи как части секущих, выходящие из точки M), произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей, проведенных из той же точки. В данном случае, точка M находится вне окружности, и лучи ME и ML являются секущими. Для секущей ME: внешняя часть MF, вся секущая ME. Для секущей ML: внешняя часть MK, вся секущая ML. Тогда справедливо соотношение: \[MF \cdot ME = MK \cdot ML\] Подставим известные значения: \[MF \cdot 12 = 3 \cdot 24\] \[MF \cdot 12 = 72\] Чтобы найти MF, разделим 72 на 12: \[MF = \frac{72}{12}\] \[MF = 6\] Таким образом, длина отрезка MF равна 6 дм. Ответ: 6 дм. 3. При пересечении двух хорд одна из них делится на отрезки 12 см и 3 см, а вторая – на отрезки, один из которых меньше другого на 5 см. Найдите длину второй хорды. Решение: Дано: Две хорды пересекаются в окружности. Первая хорда делится на отрезки \(a_1 = 12\) см и \(b_1 = 3\) см. Вторая хорда делится на отрезки \(a_2\) и \(b_2\). Известно, что \(a_2 - b_2 = 5\) см (или \(b_2 - a_2 = 5\) см). Найти: длину второй хорды (\(a_2 + b_2\)). По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Пусть отрезки первой хорды будут \(a_1\) и \(b_1\), а отрезки второй хорды – \(a_2\) и \(b_2\). Тогда: \[a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\] Подставим значения для первой хорды: \[12 \cdot 3 = a_2 \cdot b_2\] \[36 = a_2 \cdot b_2\] Теперь у нас есть система уравнений для отрезков второй хорды: 1) \(a_2 \cdot b_2 = 36\) 2) \(a_2 - b_2 = 5\) (предположим, что \(a_2\) больше \(b_2\)) Из второго уравнения выразим \(a_2\): \[a_2 = b_2 + 5\] Подставим это выражение в первое уравнение: \[(b_2 + 5) \cdot b_2 = 36\] Раскроем скобки: \[b_2^2 + 5b_2 = 36\] Перенесем 36 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[b_2^2 + 5b_2 - 36 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)\] \[D = 25 + 144\] \[D = 169\] \[\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13\] Найдем значения \(b_2\): \[b_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[b_2 = \frac{-5 \pm 13}{2 \cdot 1}\] Два возможных значения для \(b_2\): \[b_{2,1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[b_{2,2} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9\] Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому \(b_2 = 4\) см. Теперь найдем \(a_2\): \[a_2 = b_2 + 5\] \[a_2 = 4 + 5\] \[a_2 = 9\] Отрезки второй хорды равны 9 см и 4 см. Длина второй хорды равна сумме этих отрезков: \[Длина\ хорды = a_2 + b_2 = 9 + 4 = 13\] Таким образом, длина второй хорды равна 13 см. Ответ: 13 см.