Решение уравнения: 1/(x-5) - 1/(x-6) = 1/(x-7) - 1/(x-8)

Решение уравнения: \[ \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 6} = \frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x - 8} \] 1. Приведем дроби к общему знаменателю в левой и правой частях уравнения отдельно: Левая часть: \[ \frac{(x - 6) - (x - 5)}{(x - 5)(x - 6)} = \frac{x - 6 - x + 5}{(x - 5)(x - 6)} = \frac{-1}{(x - 5)(x - 6)} \] Правая часть: \[ \frac{(x - 8) - (x - 7)}{(x - 7)(x - 8)} = \frac{x - 8 - x + 7}{(x - 7)(x - 8)} = \frac{-1}{(x - 7)(x - 8)} \] 2. Получаем уравнение: \[ \frac{-1}{(x - 5)(x - 6)} = \frac{-1}{(x - 7)(x - 8)} \] 3. Так как числители равны, должны быть равны и знаменатели (при условии, что они не равны нулю): \[ (x - 5)(x - 6) = (x - 7)(x - 8) \] 4. Раскроем скобки: \[ x^2 - 6x - 5x + 30 = x^2 - 8x - 7x + 56 \] \[ x^2 - 11x + 30 = x^2 - 15x + 56 \] 5. Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа в правую: \[ x^2 - 11x - x^2 + 15x = 56 - 30 \] \[ 4x = 26 \] 6. Находим \( x \): \[ x = \frac{26}{4} \] \[ x = 6,5 \] 7. Проверка ОДЗ: при \( x = 6,5 \) ни один из знаменателей исходного уравнения не обращается в ноль (\( x \neq 5, 6, 7, 8 \)). Ответ: 6,5