Решение уравнения: 4/(3x-4) - 3/(2x+8) = 11/(6x^2+16x-32)

Решение уравнения: \[ \frac{4}{3x - 4} - \frac{3}{2x + 8} = \frac{11}{6x^2 + 16x - 32} \] 1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель: Знаменатель первой дроби: \( 3x - 4 \) Знаменатель второй дроби: \( 2x + 8 = 2(x + 4) \) Знаменатель третьей дроби: \( 6x^2 + 16x - 32 \). Вынесем 2 за скобки: \( 2(3x^2 + 8x - 16) \). Разложим квадратный трехчлен \( 3x^2 + 8x - 16 \) на множители: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2 \] \[ x_1 = \frac{-8 + 16}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}; \quad x_2 = \frac{-8 - 16}{6} = -4 \] Следовательно, \( 6x^2 + 16x - 32 = 2 \cdot 3(x - \frac{4}{3})(x + 4) = 2(3x - 4)(x + 4) \). 2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями: \[ \frac{4}{3x - 4} - \frac{3}{2(x + 4)} = \frac{11}{2(3x - 4)(x + 4)} \] 3. ОДЗ: \( x \neq \frac{4}{3} \) и \( x \neq -4 \). 4. Приведем к общему знаменателю \( 2(3x - 4)(x + 4) \), домножив первую дробь на \( 2(x + 4) \), а вторую на \( (3x - 4) \): \[ \frac{4 \cdot 2(x + 4) - 3(3x - 4)}{2(3x - 4)(x + 4)} = \frac{11}{2(3x - 4)(x + 4)} \] 5. Приравняем числители: \[ 8(x + 4) - 3(3x - 4) = 11 \] \[ 8x + 32 - 9x + 12 = 11 \] 6. Решим линейное уравнение: \[ -x + 44 = 11 \] \[ -x = 11 - 44 \] \[ -x = -33 \] \[ x = 33 \] 7. Проверка: \( x = 33 \) входит в ОДЗ. Ответ: 33