Решение уравнения: 8/(7x+4) - 3/(2x-8) = (11x-12)/(14x^2-48x-32)

Решение уравнения: \[ \frac{8}{7x + 4} - \frac{3}{2x - 8} = \frac{11x - 12}{14x^2 - 48x - 32} \] 1. Разложим знаменатели на множители: Знаменатель первой дроби: \( 7x + 4 \) Знаменатель второй дроби: \( 2x - 8 = 2(x - 4) \) Знаменатель третьей дроби: \( 14x^2 - 48x - 32 \). Вынесем 2 за скобки: \( 2(7x^2 - 24x - 16) \). Разложим \( 7x^2 - 24x - 16 \) на множители через дискриминант: \[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2 \] \[ x_1 = \frac{24 + 32}{14} = \frac{56}{14} = 4; \quad x_2 = \frac{24 - 32}{14} = -\frac{8}{14} = -\frac{4}{7} \] Значит, \( 14x^2 - 48x - 32 = 2(7x + 4)(x - 4) \). 2. ОДЗ: \( x \neq 4 \) и \( x \neq -\frac{4}{7} \). 3. Приведем уравнение к общему знаменателю \( 2(7x + 4)(x - 4) \): Домножим первую дробь на \( 2(x - 4) \), вторую на \( (7x + 4) \): \[ \frac{8 \cdot 2(x - 4) - 3(7x + 4)}{2(7x + 4)(x - 4)} = \frac{11x - 12}{2(7x + 4)(x - 4)} \] 4. Приравняем числители: \[ 16(x - 4) - 3(7x + 4) = 11x - 12 \] \[ 16x - 64 - 21x - 12 = 11x - 12 \] 5. Упростим левую часть: \[ -5x - 76 = 11x - 12 \] 6. Перенесем слагаемые с \( x \) в одну сторону, а числа в другую: \[ -5x - 11x = 76 - 12 \] \[ -16x = 64 \] \[ x = \frac{64}{-16} \] \[ x = -4 \] 7. Проверка: \( x = -4 \) не совпадает с исключенными значениями из ОДЗ. Ответ: -4