Задание № 16
Проанализируйте чертеж четырехугольной пирамиды, решите задачу видимости вершин, ребер и граней многогранника и отнесите указанные геометрические элементы к соответствующим множествам.
На чертеже представлены две проекции четырехугольной пирамиды: фронтальная (вид спереди) и горизонтальная (вид сверху).
Анализ чертежа:
- На фронтальной проекции (верхний рисунок) мы видим вершину \(S_2\) и основание \(A_2B_2C_2D_2\). Линия \(X_{12}\) - это ось, разделяющая фронтальную и горизонтальную проекции.
- На горизонтальной проекции (нижний рисунок) мы видим вершину \(S_1\) и основание \(A_1B_1C_1D_1\).
- Видимость элементов определяется их положением относительно наблюдателя. Элементы, расположенные ближе к наблюдателю, видны и изображаются сплошными линиями. Элементы, расположенные дальше или закрытые другими частями фигуры, невидимы и изображаются пунктирными линиями.
Решение задачи видимости:
1. AB
Рассмотрим ребро AB. На горизонтальной проекции (вид сверху) ребро \(A_1B_1\) является внешним контуром основания и, следовательно, видимо. На фронтальной проекции (вид спереди) ребро \(A_2B_2\) также является частью внешнего контура пирамиды. Таким образом, ребро AB является видимым.
Ответ: Видимое
2. DC
Рассмотрим ребро DC. На горизонтальной проекции (вид сверху) ребро \(D_1C_1\) является внешним контуром основания и, следовательно, видимо. На фронтальной проекции (вид спереди) ребро \(D_2C_2\) находится на задней стороне пирамиды относительно наблюдателя, если смотреть спереди. Оно закрыто гранями SAB и SBC. Поэтому ребро DC является невидимым.
Ответ: Невидимое
3. ABCD
Множество граней, видимых на горизонтальной плоскости проекций (вид сверху).
При взгляде сверху на пирамиду мы видим ее основание ABCD. Все грани, которые образуют боковую поверхность пирамиды, будут видны только частично или не видны вовсе, так как они наклонены. Однако, если вопрос касается граней, видимых на горизонтальной плоскости проекций, то это означает, какие грани видны при проецировании на эту плоскость. При взгляде сверху мы видим основание ABCD. Боковые грани (SAB, SBC, SCD, SDA) будут проецироваться на горизонтальную плоскость, но их видимость как "граней" в полном смысле слова будет зависеть от их наклона. Обычно, когда говорят о видимости на горизонтальной плоскости, имеют в виду элементы, которые образуют внешний контур при взгляде сверху. В данном случае, основание ABCD полностью видимо. Боковые грани будут видны как треугольники, но их видимость как целых граней, а не только их проекций, может быть спорной. Однако, если речь идет о том, какие грани "видны" при взгляде сверху, то это основание ABCD и части боковых граней, которые образуют внешний контур. Но чаще всего, под "видимыми гранями на горизонтальной плоскости проекций" подразумевают те грани, которые образуют верхнюю часть объекта при взгляде сверху. В данном случае, это основание ABCD.
Ответ: ABCD
4. SAB
Рассмотрим грань SAB. На фронтальной проекции (вид спереди) грань \(S_2A_2B_2\) находится на передней стороне пирамиды относительно наблюдателя. Она является частью внешнего контура и, следовательно, видима. На горизонтальной проекции (вид сверху) грань \(S_1A_1B_1\) также является видимой, так как она находится ближе к наблюдателю, чем грань SCD. Таким образом, грань SAB является видимой.
Ответ: Видимая