Задача: Учёные установили, что прирост какого-либо вида живых организмов за счёт рождаемости прямо пропорционален их количеству, а убыль за счёт смертности прямо пропорциональна квадрату их количества (закон Мальтуса).
В некотором пруду собираются разводить рыб. Предварительно производится расчёты с помощью закона Мальтуса. Согласно этому закону, изменение числа рыб за год вычисляется по формуле:
\[ \Delta N = kN - qN^2 \]где \(N\) — количество рыб в начале года, \(k\) — коэффициент прироста, \(q\) — коэффициент смертности.
Пусть для данного пруда и данного вида рыб \(k = 1\), \(q = 0,002\).
Смоделировав процесс размножения рыб с помощью электронной таблицы, ответьте на вопрос: сколько рыб станет через 8 лет, если изначально в пруд запустили 100 мальков?
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно последовательно рассчитать количество рыб в пруду каждый год в течение 8 лет. Мы будем использовать формулу:
\[ \Delta N = kN - qN^2 \]где \(k = 1\) и \(q = 0,002\).
Изменение количества рыб за год (\(\Delta N\)) — это разница между количеством рыб в конце года и в начале года. То есть, если \(N_{текущий}\) — количество рыб в начале года, то \(N_{следующий} = N_{текущий} + \Delta N\).
Подставим значения \(k\) и \(q\) в формулу для \(\Delta N\):
\[ \Delta N = 1 \cdot N - 0,002 \cdot N^2 \] \[ \Delta N = N - 0,002N^2 \]Теперь рассчитаем количество рыб по годам, начиная с 100 мальков.
Начальное количество рыб (Год 0): \(N_0 = 100\)
Год 1:
Изменение количества рыб за первый год:
\[ \Delta N_1 = N_0 - 0,002N_0^2 \] \[ \Delta N_1 = 100 - 0,002 \cdot (100)^2 \] \[ \Delta N_1 = 100 - 0,002 \cdot 10000 \] \[ \Delta N_1 = 100 - 20 \] \[ \Delta N_1 = 80 \]Количество рыб в конце первого года:
\[ N_1 = N_0 + \Delta N_1 \] \[ N_1 = 100 + 80 \] \[ N_1 = 180 \]Год 2:
Изменение количества рыб за второй год:
\[ \Delta N_2 = N_1 - 0,002N_1^2 \] \[ \Delta N_2 = 180 - 0,002 \cdot (180)^2 \] \[ \Delta N_2 = 180 - 0,002 \cdot 32400 \] \[ \Delta N_2 = 180 - 64,8 \] \[ \Delta N_2 = 115,2 \]Количество рыб в конце второго года (округляем до целых, так как количество рыб не может быть дробным):
\[ N_2 = N_1 + \Delta N_2 \] \[ N_2 = 180 + 115,2 \] \[ N_2 = 295,2 \approx 295 \]Год 3:
Изменение количества рыб за третий год:
\[ \Delta N_3 = N_2 - 0,002N_2^2 \] \[ \Delta N_3 = 295 - 0,002 \cdot (295)^2 \] \[ \Delta N_3 = 295 - 0,002 \cdot 87025 \] \[ \Delta N_3 = 295 - 174,05 \] \[ \Delta N_3 = 120,95 \]Количество рыб в конце третьего года:
\[ N_3 = N_2 + \Delta N_3 \] \[ N_3 = 295 + 120,95 \] \[ N_3 = 415,95 \approx 416 \]Год 4:
Изменение количества рыб за четвертый год:
\[ \Delta N_4 = N_3 - 0,002N_3^2 \] \[ \Delta N_4 = 416 - 0,002 \cdot (416)^2 \] \[ \Delta N_4 = 416 - 0,002 \cdot 173056 \] \[ \Delta N_4 = 416 - 346,112 \] \[ \Delta N_4 = 69,888 \]Количество рыб в конце четвертого года:
\[ N_4 = N_3 + \Delta N_4 \] \[ N_4 = 416 + 69,888 \] \[ N_4 = 485,888 \approx 486 \]Год 5:
Изменение количества рыб за пятый год:
\[ \Delta N_5 = N_4 - 0,002N_4^2 \] \[ \Delta N_5 = 486 - 0,002 \cdot (486)^2 \] \[ \Delta N_5 = 486 - 0,002 \cdot 236196 \] \[ \Delta N_5 = 486 - 472,392 \] \[ \Delta N_5 = 13,608 \]Количество рыб в конце пятого года:
\[ N_5 = N_4 + \Delta N_5 \] \[ N_5 = 486 + 13,608 \] \[ N_5 = 499,608 \approx 500 \]Год 6:
Изменение количества рыб за шестой год:
\[ \Delta N_6 = N_5 - 0,002N_5^2 \] \[ \Delta N_6 = 500 - 0,002 \cdot (500)^2 \] \[ \Delta N_6 = 500 - 0,002 \cdot 250000 \] \[ \Delta N_6 = 500 - 500 \] \[ \Delta N_6 = 0 \]Количество рыб в конце шестого года:
\[ N_6 = N_5 + \Delta N_6 \] \[ N_6 = 500 + 0 \] \[ N_6 = 500 \]Год 7:
Изменение количества рыб за седьмой год:
\[ \Delta N_7 = N_6 - 0,002N_6^2 \] \[ \Delta N_7 = 500 - 0,002 \cdot (500)^2 \] \[ \Delta N_7 = 500 - 500 \] \[ \Delta N_7 = 0 \]Количество рыб в конце седьмого года:
\[ N_7 = N_6 + \Delta N_7 \] \[ N_7 = 500 + 0 \] \[ N_7 = 500 \]Год 8:
Изменение количества рыб за восьмой год:
\[ \Delta N_8 = N_7 - 0,002N_7^2 \] \[ \Delta N_8 = 500 - 0,002 \cdot (500)^2 \] \[ \Delta N_8 = 500 - 500 \] \[ \Delta N_8 = 0 \]Количество рыб в конце восьмого года:
\[ N_8 = N_7 + \Delta N_8 \] \[ N_8 = 500 + 0 \] \[ N_8 = 500 \]Мы видим, что количество рыб стабилизируется на отметке 500. Это происходит, когда прирост равен убыли, то есть \(\Delta N = 0\). \[ N - 0,002N^2 = 0 \] \[ N(1 - 0,002N) = 0 \]
Отсюда либо \(N = 0\), либо \(1 - 0,002N = 0\).
\[ 1 = 0,002N \] \[ N = \frac{1}{0,002} \] \[ N = \frac{1000}{2} \] \[ N = 500 \]Таким образом, максимальное количество рыб, которое может поддерживаться в пруду при данных коэффициентах, составляет 500 особей.
Ответ: Через 8 лет в пруду станет 500 рыб.