Решение задачи: Площадь подобных треугольников (Вариант 2)

Вот решения задач из варианта 2. Вариант 2 1. Треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle AMK\) подобны. Площадь \(\triangle ABC\) равен \(15 \text{ см}^2\). Отношение сторон \(AB : MN = 2 : 5\). Найдите площадь \(\triangle AMK\). Решение: Дано, что \(\triangle ABC \sim \triangle AMK\). Отношение сторон \(AB : MN = 2 : 5\). Так как треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{AB}{AM}\). В условии задачи указано \(AB : MN = 2 : 5\). Вероятно, здесь опечатка и должно быть \(AB : AM = 2 : 5\). Будем исходить из этого предположения. Тогда \(k = \frac{AB}{AM} = \frac{2}{5}\). Отношение площадей: \[ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AMK}} = k^2 \] \[ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AMK}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \] \[ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AMK}} = \frac{4}{25} \] Нам дана площадь \(\triangle ABC = 15 \text{ см}^2\). \[ \frac{15}{S_{\triangle AMK}} = \frac{4}{25} \] Чтобы найти \(S_{\triangle AMK}\), выразим её: \[ S_{\triangle AMK} = \frac{15 \cdot 25}{4} \] \[ S_{\triangle AMK} = \frac{375}{4} \] \[ S_{\triangle AMK} = 93.75 \text{ см}^2 \] Ответ: Площадь \(\triangle AMK\) равна \(93.75 \text{ см}^2\). 2. Хорды \(AC\) и \(BD\) окружности пересекаются в точке \(P\). Найдите \(AP\), если \(BP = 15\), \(CP = 6\), \(DP = 10\). Решение: По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть, \(AP \cdot CP = BP \cdot DP\). Нам даны значения: \(BP = 15\), \(CP = 6\), \(DP = 10\). Подставим эти значения в формулу: \[ AP \cdot 6 = 15 \cdot 10 \] \[ AP \cdot 6 = 150 \] Чтобы найти \(AP\), разделим 150 на 6: \[ AP = \frac{150}{6} \] \[ AP = 25 \] Ответ: Длина отрезка \(AP\) равна 25. 3. Из точки \(A\) к окружности проведены касательная \(AK = 8 \text{ см}\) и секущая \(AE\). Найдите длину отрезка \(AF\) секущей, лежащего вне окружности, если \(FE = 16 \text{ см}\). Решение: По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть. В данном случае, касательная \(AK\), секущая \(AE\), внешняя часть секущей \(AF\). Длина всей секущей \(AE = AF + FE\). Формула: \(AK^2 = AF \cdot AE\). Нам дано: \(AK = 8 \text{ см}\), \(FE = 16 \text{ см}\). Пусть \(AF = x\). Тогда \(AE = x + 16\). Подставим значения в формулу: \[ 8^2 = x \cdot (x + 16) \] \[ 64 = x^2 + 16x \] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 + 16x - 64 = 0 \] Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Здесь \(a = 1\), \(b = 16\), \(c = -64\). \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 256}}{2} \] \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{512}}{2} \] Упростим \(\sqrt{512}\): \(\sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}\). \[ x = \frac{-16 \pm 16\sqrt{2}}{2} \] \[ x = -8 \pm 8\sqrt{2} \] Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \[ x = -8 + 8\sqrt{2} \] \[ AF = 8\sqrt{2} - 8 \text{ см} \] Ответ: Длина отрезка \(AF\) равна \(8\sqrt{2} - 8 \text{ см}\). 4. Из точки \(A\) вне окружности проведены две секущие, \(AC\) и \(AK\), которые пересекают окружность в точках \(B\) и \(M\) так, что \(AC = 6 \text{ см}\), \(AM = 8 \text{ см}\), \(MK = 4 \text{ см}\). Найдите \(AB\). Решение: По свойству двух секущих, проведенных из одной точки к окружности, произведение всей секущей на её внешнюю часть для одной секущей равно произведению всей секущей на её внешнюю часть для другой секущей. Для секущей \(AC\): внешняя часть \(AB\), вся секущая \(AC\). Для секущей \(AK\): внешняя часть \(AM\), вся секущая \(AK\). Формула: \(AB \cdot AC = AM \cdot AK\). Нам дано: \(AC = 6 \text{ см}\), \(AM = 8 \text{ см}\), \(MK = 4 \text{ см}\). Длина всей секущей \(AK = AM + MK\). \[ AK = 8 + 4 = 12 \text{ см} \] Пусть \(AB = x\). Подставим известные значения в формулу: \[ x \cdot 6 = 8 \cdot 12 \] \[ 6x = 96 \] Чтобы найти \(x\), разделим 96 на 6: \[ x = \frac{96}{6} \] \[ x = 16 \text{ см} \] Ответ: Длина отрезка \(AB\) равна \(16 \text{ см}\).