Решение задач из 4 варианта

Вот решения задач из 4 варианта. Вариант 4 1. (2 балла) Найдите корень уравнения: а) \(-4 - 6x = 4x - 3\) Решение: Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа – в другую. \(-6x - 4x = -3 + 4\) \(-10x = 1\) \(x = -\frac{1}{10}\) \(x = -0.1\) б) \(4x + 4 - 3(x + 1) = 5(-2 - x) + 5\) Решение: Раскроем скобки: \(4x + 4 - 3x - 3 = -10 - 5x + 5\) Приведем подобные члены в каждой части уравнения: \(x + 1 = -5 - 5x\) Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа – в другую: \(x + 5x = -5 - 1\) \(6x = -6\) \(x = \frac{-6}{6}\) \(x = -1\) 2. (2 балла) Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе напишите меньший корень. а) \(3x^2 + 12x = 0\) Решение: Вынесем общий множитель \(3x\) за скобки: \(3x(x + 4) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. \(3x = 0\) или \(x + 4 = 0\) \(x_1 = 0\) или \(x_2 = -4\) Меньший корень: \(-4\). б) \(x^2 - 5x = 14\) Решение: Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде \(ax^2 + bx + c = 0\): \(x^2 - 5x - 14 = 0\) Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -14\). \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)\) \(D = 25 + 56\) \(D = 81\) Корни уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\) \(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Меньший корень: \(-2\). 3. (1 балл) Найдите корень уравнения: \[\frac{1}{x^2} - \frac{6}{x} - 7 = 0\] Решение: Пусть \(y = \frac{1}{x}\). Тогда уравнение примет вид: \(y^2 - 6y - 7 = 0\) Найдем корни этого квадратного уравнения. \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)\) \(D = 36 + 28\) \(D = 64\) \(y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7\) \(y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) Теперь вернемся к \(x\): Если \(y_1 = 7\), то \(\frac{1}{x} = 7 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{7}\) Если \(y_2 = -1\), то \(\frac{1}{x} = -1 \Rightarrow x_2 = -1\) Проверим, что \(x \neq 0\). Оба корня удовлетворяют этому условию. В задании просят найти корень (единственное число), возможно, подразумевается один из них или любой. Если нужно выбрать один, то обычно выбирают положительный или наименьший по модулю, но без уточнения сложно сказать. Предположим, что нужно найти любой корень. Ответ: \(\frac{1}{7}\) или \(-1\). Если нужно выбрать один, то, например, \(-1\). 4. (1 балл) Решите уравнение: \(x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0\) Решение: Сгруппируем члены и вынесем общие множители: \((x^3 + 5x^2) - (9x + 45) = 0\) \(x^2(x + 5) - 9(x + 5) = 0\) Вынесем общий множитель \((x + 5)\): \((x + 5)(x^2 - 9) = 0\) Разложим \(x^2 - 9\) как разность квадратов \((x - 3)(x + 3)\): \((x + 5)(x - 3)(x + 3) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5\) \(x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3\) \(x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3\) Корни уравнения: \(-5\), \(-3\), \(3\). 5. (1 балл) Решите уравнение: \((x + 1)^4 + (x + 1)^2 - 6 = 0\) Решение: Пусть \(y = (x + 1)^2\). Тогда уравнение примет вид: \(y^2 + y - 6 = 0\) Найдем корни этого квадратного уравнения. \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\) \(D = 1 + 24\) \(D = 25\) \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Теперь вернемся к \(x\): Случай 1: \(y_1 = 2\) \((x + 1)^2 = 2\) \(x + 1 = \pm\sqrt{2}\) \(x_1 = -1 + \sqrt{2}\) \(x_2 = -1 - \sqrt{2}\) Случай 2: \(y_2 = -3\) \((x + 1)^2 = -3\) Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Корни уравнения: \(-1 + \sqrt{2}\) и \(-1 - \sqrt{2}\). 6. (2 балла) Решите уравнение: \(x^4 = (x - 20)^2\) Решение: Перенесем все члены в левую часть: \(x^4 - (x - 20)^2 = 0\) Это разность квадратов, где \(A = x^2\) и \(B = (x - 20)\). \((x^2 - (x - 20))(x^2 + (x - 20)) = 0\) Раскроем скобки: \((x^2 - x + 20)(x^2 + x - 20) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Случай 1: \(x^2 - x + 20 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79\) Так как \(D < 0\), это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Случай 2: \(x^2 + x - 20 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\) Корни уравнения: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1}\) \(x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) Корни уравнения: \(4\) и \(-5\).