Решение задачи: Градуировочный график (Вариант №13)

Вариант № 13 1. Построение градуировочного графика Для нахождения уравнения прямой \( A = b \cdot m + a \) воспользуемся методом наименьших квадратов по данным таблицы: \( m_i \): 0,025; 0,050; 0,075; 0,100; 0,125; 0,150 \( A_i \): 0,110; 0,223; 0,315; 0,431; 0,530; 0,640 Рассчитаем необходимые суммы (\( n = 6 \)): \[ \sum m = 0,525 \] \[ \sum A = 2,249 \] \[ \sum m^2 = 0,0546875 \] \[ \sum (m \cdot A) = 0,235175 \] Вычислим коэффициенты: \[ b = \frac{n \sum (mA) - \sum m \sum A}{n \sum m^2 - (\sum m)^2} = \frac{6 \cdot 0,235175 - 0,525 \cdot 2,249}{6 \cdot 0,0546875 - (0,525)^2} \approx 4,219 \] \[ a = \frac{\sum A - b \sum m}{n} = \frac{2,249 - 4,219 \cdot 0,525}{6} \approx 0,0057 \] Уравнение прямой: \[ A = 4,219 \cdot m + 0,0057 \] Коэффициент корреляции \( r \): \[ r = \frac{n \sum (mA) - \sum m \sum A}{\sqrt{[n \sum m^2 - (\sum m)^2][n \sum A^2 - (\sum A)^2]}} \approx 0,9996 \] Связь практически функциональная, уравнение достоверно. 2. Обработка результатов для контрольного образца Данные \( A \): 0,373; 0,385; 0,379; 0,369; 0,367; 0,411; 0,377; 0,380; 0,378; 0,383. Проверим результат 0,411 на промах по Q-критерию: \[ Q_{эксп} = \frac{0,411 - 0,385}{0,411 - 0,367} = \frac{0,026}{0,044} \approx 0,59 \] Для \( n = 10 \), \( Q_{табл} (P=0,95) = 0,41 \). Так как \( Q_{эксп} > Q_{табл} \), значение 0,411 исключаем. Для оставшихся 9 значений: Среднее \( \bar{A} = 0,377 \] Стандартное отклонение \( S_A = 0,0059 \) Рассчитаем содержание ПАВ (\( m_1 \)): \[ m_1 = \frac{\bar{A} - a}{b} = \frac{0,377 - 0,0057}{4,219} \approx 0,0880 \text{ мг} \] Стандартное отклонение для массы: \[ S_1 = \frac{S_A}{b} = \frac{0,0059}{4,219} \approx 0,0014 \text{ мг} \] 3. Сравнение двух методов Метод 1: \( \bar{m}_1 = 0,0880 \), \( S_1 = 0,0014 \), \( n_1 = 9 \) Метод 2: \( \bar{m}_2 = 0,093 \), \( S_2 = 0,0047 \), \( n_2 = 8 \) Сравнение дисперсий по F-критерию: \[ F_{эксп} = \frac{S_2^2}{S_1^2} = \frac{0,0047^2}{0,0014^2} \approx 11,27 \] \( F_{табл} (f_1=7, f_2=8) = 3,50 \). Различие дисперсий значимо. Сравнение средних по t-критерию (для разных дисперсий): \[ t_{эксп} = \frac{|\bar{m}_1 - \bar{m}_2|}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} = \frac{|0,0880 - 0,093|}{\sqrt{\frac{0,0014^2}{9} + \frac{0,0047^2}{8}}} \approx \frac{0,005}{0,0017} \approx 2,94 \] \( t_{табл} (P=0,95, f \approx 8) = 2,31 \). Так как \( t_{эксп} > t_{табл} \), расхождение между результатами двух методов существенно. Окончательный результат для первого метода (\( t_{табл} = 2,31 \)): \[ \Delta m = \frac{t \cdot S_1}{\sqrt{n_1}} = \frac{2,31 \cdot 0,0014}{3} \approx 0,0011 \] \[ m = (0,0880 \pm 0,0011) \text{ мг} \]