Г-8 С.Р. Вариант 2
1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону AB.
Решение:
На рисунке изображены два подобных треугольника. Меньший треугольник имеет сторону, равную 6, и сторону, равную 15. Больший треугольник имеет сторону, равную AB, и сторону, равную 18.
Так как треугольники подобны (общий угол при вершине A и параллельные линии, образующие равные углы), то отношение соответствующих сторон равно.
Обозначим вершину, где находится угол, как A. Пусть точка на стороне AC, которая делит её на отрезки 6 и 18, будет D. Пусть точка на стороне AB, которая делит её, будет E. Тогда у нас есть треугольник ADE и треугольник ABC.
Из подобия треугольников ADE и ABC следует:
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC} \]По условию, \(AD = 6\), \(AC = 18\), \(DE = 15\). Нам нужно найти \(AB\).
Мы можем использовать отношение сторон:
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} \]Но нам нужно найти \(AB\), а не \(BC\). Давайте внимательно посмотрим на рисунок. На рисунке показан треугольник с вершинами A, B, C. Внутри него проведена линия, параллельная BC, которая образует меньший треугольник. Пусть эта линия пересекает AB в точке D и AC в точке E. Тогда треугольник ADE подобен треугольнику ABC.
По условию, \(AD = 6\). Отрезок, параллельный BC, имеет длину 15. Отрезок AC имеет длину 18. Нам нужно найти сторону AB.
Из подобия треугольников ADE и ABC следует:
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} \]Мы знаем \(AD = 6\) и \(AC = 18\). Мы также знаем, что отрезок, параллельный BC, имеет длину 15. Это \(DE\). И отрезок \(BC\) не указан. Но на рисунке показано, что 6 и 18 - это части стороны AC. Если 6 - это часть AD, а 18 - это вся сторона AC, то это неверно. Давайте предположим, что 6 - это длина отрезка от A до точки на AC, а 18 - это длина всей стороны AC. Тогда \(AD = 6\), \(AC = 18\). Отрезок, параллельный BC, имеет длину 15. Пусть это будет \(DE\). Нам нужно найти \(AB\).
Если 6 - это часть стороны AC, а 18 - это вся сторона AC, то это означает, что \(AD = 6\), а \(DC = 18 - 6 = 12\). Но на рисунке 6 и 18 расположены под стороной AC, что обычно означает, что 6 - это часть AD, а 18 - это вся сторона AC. Давайте предположим, что 6 - это длина отрезка от A до точки на стороне AC, а 18 - это длина всей стороны AC. Тогда \(AD = 6\), \(AC = 18\). Отрезок, параллельный BC, имеет длину 15. Пусть это будет \(DE\). Нам нужно найти \(AB\).
Из подобия треугольников ADE и ABC следует:
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} \]И
\[ \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} \]Мы знаем \(AD = 6\) и \(AC = 18\). Значит, коэффициент подобия \(k = \frac{AD}{AC} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\).
Тогда \(AE = k \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot AB\).
На рисунке 15 - это длина отрезка \(DE\). На рисунке 18 - это длина отрезка \(BC\). А 6 - это длина отрезка \(AD\). И нам нужно найти \(AB\).
Давайте перечитаем условие: "Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону AB." На рисунке: Угол при вершине A обозначен как общий для двух треугольников. Отрезок, исходящий из A, имеет длину 6. Отрезок, параллельный основанию, имеет длину 15. Основание большого треугольника имеет длину 18. Нам нужно найти сторону AB.
Пусть меньший треугольник - это \(ADE\), а больший - \(ABC\). Тогда \(AD = 6\). \(DE = 15\). \(BC = 18\). Нам нужно найти \(AB\).
Из подобия треугольников ADE и ABC следует:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \]Подставляем известные значения:
\[ \frac{6}{AB} = \frac{15}{18} \]Упрощаем дробь \(\frac{15}{18}\):
\[ \frac{15}{18} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{5}{6} \]Теперь уравнение выглядит так:
\[ \frac{6}{AB} = \frac{5}{6} \]Чтобы найти \(AB\), умножим обе части на \(6 \cdot AB\):
\[ 6 \cdot 6 = 5 \cdot AB \] \[ 36 = 5 \cdot AB \]Разделим обе части на 5:
\[ AB = \frac{36}{5} \] \[ AB = 7.2 \]Ответ: \(AB = 7.2\).
2. Найдите длину меньшего основания трапеции, изображенной на рисунке.
Решение:
На рисунке изображена трапеция с диагоналями. Диагонали делят друг друга на отрезки. Пусть верхнее основание трапеции будет \(b\), а нижнее основание \(a = 30\). Диагонали делятся на отрезки 8 и 20. В трапеции треугольники, образованные основаниями и частями диагоналей, подобны. Пусть верхнее основание - \(AD\), нижнее - \(BC\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Тогда треугольник \(AOD\) подобен треугольнику \(COB\).
Из подобия треугольников \(AOD\) и \(COB\) следует, что отношение соответствующих сторон равно.
На рисунке показаны отрезки диагоналей: 8 и 20. Отрезок 8 относится к меньшему основанию, а отрезок 20 - к большему основанию.
Отношение отрезков диагоналей равно отношению оснований:
\[ \frac{\text{меньшее основание}}{\text{большее основание}} = \frac{\text{меньший отрезок диагонали}}{\text{больший отрезок диагонали}} \]Пусть меньшее основание будет \(x\). Большее основание равно 30.
\[ \frac{x}{30} = \frac{8}{20} \]Упрощаем дробь \(\frac{8}{20}\):
\[ \frac{8}{20} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5} \]Теперь уравнение выглядит так:
\[ \frac{x}{30} = \frac{2}{5} \]Чтобы найти \(x\), умножим обе части на 30:
\[ x = \frac{2}{5} \cdot 30 \] \[ x = 2 \cdot \frac{30}{5} \] \[ x = 2 \cdot 6 \] \[ x = 12 \]Ответ: Длина меньшего основания трапеции равна 12.
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка BC.
Решение:
На рисунке изображены два треугольника, которые пересекаются. Пусть точка пересечения отрезков BE и AC будет O. У нас есть треугольник AOB и треугольник EOC. Углы при вершине O (углы AOB и EOC) являются вертикальными, значит, они равны. Углы при вершинах A и E обозначены как равные (по одной дуге). Значит, треугольник AOB подобен треуголь EOC по двум углам (угол A = угол E, угол AOB = угол EOC).
Из подобия треугольников AOB и EOC следует, что отношение соответствующих сторон равно.
Нам даны следующие длины отрезков:
\(AO = 6\)
\(BO = 4\)
\(EO = 15\)
Нам нужно найти длину отрезка \(BC\). Отрезок \(BC\) состоит из отрезков \(BO\) и \(OC\). Сначала найдем \(OC\).
Из подобия треугольников AOB и EOC:
\[ \frac{AO}{EO} = \frac{BO}{CO} = \frac{AB}{EC} \]Используем отношение, которое содержит известные нам отрезки и искомый \(CO\):
\[ \frac{AO}{EO} = \frac{BO}{CO} \]Подставляем известные значения:
\[ \frac{6}{15} = \frac{4}{CO} \]Упрощаем дробь \(\frac{6}{15}\):
\[ \frac{6}{15} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{2}{5} \]Теперь уравнение выглядит так:
\[ \frac{2}{5} = \frac{4}{CO} \]Чтобы найти \(CO\), можно использовать свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов):
\[ 2 \cdot CO = 5 \cdot 4 \] \[ 2 \cdot CO = 20 \]Разделим обе части на 2:
\[ CO = \frac{20}{2} \] \[ CO = 10 \]Теперь, когда мы знаем \(CO\), мы можем найти \(BC\).
\(BC = BO + CO\)
\(BC = 4 + 10\)
\(BC = 14\)
Ответ: Длина отрезка \(BC = 14\).
4. Найдите катет BA треугольника, изображенного на рисунке.
Решение:
На рисунке изображен прямоугольный треугольник ABC. Из вершины прямого угла A опущена высота на гипотенузу BC. Также внутри треугольника проведена линия, параллельная катету BA, которая образует меньший прямоугольный треугольник.
Давайте внимательно посмотрим на рисунок. У нас есть большой прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A. Из точки на гипотенузе BC проведена перпендикулярная линия к катету AC. Пусть эта точка на гипотенузе будет D, а точка на катете AC будет E. Тогда DE перпендикулярно AC. Также из точки D проведена перпендикулярная линия к катету AB. Но на рисунке показано, что из точки на гипотенузе проведена линия, параллельная BA, которая пересекает AC. И есть еще одна линия, перпендикулярная AC, которая пересекает BC.
Давайте рассмотрим треугольник ABC. Угол A прямой. Из точки на AC (пусть это будет D) проведена линия, перпендикулярная AC, которая пересекает BC в точке E. Тогда треугольник EDC подобен треугольнику ABC (по двум углам: угол C общий, угол EDC = угол BAC = 90 градусов).
На рисунке даны следующие длины:
Отрезок на гипотенузе от B до точки пересечения с перпендикуляром равен 8. Отрезок на гипотенузе от точки пересечения с перпендикуляром до C равен 12. Высота, опущенная из точки на гипотенузе на катет AC, равна 9.
Пусть вершина прямого угла будет A. Вершина B. Вершина C. Из точки на гипотенузе BC (пусть это будет D) опущен перпендикуляр на AC (пусть это будет E). Тогда \(DE = 9\). \(BD = 8\). \(DC = 12\).
Нам нужно найти катет \(BA\).
Рассмотрим треугольник ABC. Угол A = 90 градусов. Угол C - общий для треугольников ABC и EDC. Угол DEC = 90 градусов. Значит, треугольник EDC подобен треугольнику ABC.
Из подобия треугольников EDC и ABC следует:
\[ \frac{ED}{AB} = \frac{DC}{BC} = \frac{EC}{AC} \]Мы знаем \(ED = 9\). Мы знаем \(DC = 12\). Мы знаем \(BC = BD + DC = 8 + 12 = 20\).
Используем отношение:
\[ \frac{ED}{AB} = \frac{DC}{BC} \]Подставляем известные значения:
\[ \frac{9}{AB} = \frac{12}{20} \]Упрощаем дробь \(\frac{12}{20}\):
\[ \frac{12}{20} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{5} \]Теперь уравнение выглядит так:
\[ \frac{9}{AB} = \frac{3}{5} \]Чтобы найти \(AB\), используем свойство пропорции:
\[ 9 \cdot 5 = 3 \cdot AB \] \[ 45 = 3 \cdot AB \]Разделим обе части на 3:
\[ AB = \frac{45}{3} \] \[ AB = 15 \]Ответ: Катет \(BA = 15\).