Решение уравнений с x³: примеры и ответы

Задание 1. Решите уравнение \(x^3 - x^2 - 64x + 64 = 0\). Решение: Сгруппируем слагаемые: \((x^3 - x^2) - (64x - 64) = 0\) Вынесем общие множители за скобки: \(x^2(x - 1) - 64(x - 1) = 0\) Вынесем общую скобку \((x - 1)\): \((x - 1)(x^2 - 64) = 0\) Разложим разность квадратов: \((x - 1)(x - 8)(x + 8) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1\) 2) \(x - 8 = 0 \Rightarrow x_2 = 8\) 3) \(x + 8 = 0 \Rightarrow x_3 = -8\) Ответ: \(1; 8; -8\). Задание 2. Решите уравнение \(x^3 - 9x^2 = 4x - 36\). Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть: \(x^3 - 9x^2 - 4x + 36 = 0\) Сгруппируем: \(x^2(x - 9) - 4(x - 9) = 0\) \((x - 9)(x^2 - 4) = 0\) \((x - 9)(x - 2)(x + 2) = 0\) Корни уравнения: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = -2\). Ответ: \(9; 2; -2\). Задание 3. Решите уравнение \(7x^2 - 48x + \sqrt{x - 2} = \sqrt{x - 2} - 36\). Решение: Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \(x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\) При условии \(x \ge 2\) вычтем \(\sqrt{x - 2}\) из обеих частей: \(7x^2 - 48x = -36\) \(7x^2 - 48x + 36 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-48)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 36 = 2304 - 1008 = 1296 = 36^2\) Вычислим корни: \(x_1 = \frac{48 + 36}{14} = \frac{84}{14} = 6\) \(x_2 = \frac{48 - 36}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}\) Проверим по ОДЗ (\(x \ge 2\)): \(6 \ge 2\) — подходит. \(\frac{6}{7} < 2\) — не подходит. Ответ: \(6\). Задание 4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} -6x^2 + 4x = y \\ -6x + 4 = y \end{cases} \] Решение: Приравняем правые части: \(-6x^2 + 4x = -6x + 4\) \(-6x^2 + 10x - 4 = 0\) Разделим на \(-2\): \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) \(D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1\) \(x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1 \Rightarrow y_1 = -6(1) + 4 = -2\) \(x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow y_2 = -6(\frac{2}{3}) + 4 = -4 + 4 = 0\) Ответ: \((1; -2), (\frac{2}{3}; 0)\). Задание 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 5x^2 + y = 3 \\ 8x^2 - y = 10 \end{cases} \] Решение: Сложим уравнения системы: \((5x^2 + y) + (8x^2 - y) = 3 + 10\) \(13x^2 = 13\) \(x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\) Найдем \(y\), подставив \(x^2 = 1\) в первое уравнение: \(5(1) + y = 3 \Rightarrow y = 3 - 5 = -2\) Так как \(x\) в квадрате, для обоих значений \(x\) значение \(y\) будет одинаковым. Ответ: \((1; -2), (-1; -2)\). Задание 6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 8x^2 - 7y^2 = 65 \\ 32x^2 - 28y^2 = 65x \end{cases} \] Решение: Заметим, что в левой части второго уравнения можно вынести множитель 4: \(4(8x^2 - 7y^2) = 65x\) Из первого уравнения мы знаем, что \(8x^2 - 7y^2 = 65\). Подставим это значение: \(4 \cdot 65 = 65x\) Разделим на 65: \(x = 4\) Теперь найдем \(y\), подставив \(x = 4\) в первое уравнение: \(8 \cdot 4^2 - 7y^2 = 65\) \(8 \cdot 16 - 7y^2 = 65\) \(128 - 7y^2 = 65\) \(-7y^2 = 65 - 128\) \(-7y^2 = -63\) \(y^2 = 9 \Rightarrow y_1 = 3, y_2 = -3\) Ответ: \((4; 3), (4; -3)\).