Решение задачи 504: Периметр прямоугольника ABCD

Задача 504. Найдите периметр прямоугольника \(ABCD\), если биссектриса угла \(A\) делит сторону: а) \(BC\) на отрезки \(45,6\) см и \(7,85\) см; б) \(DC\) на отрезки \(2,7\) дм и \(4,5\) дм. Решение: Для начала вспомним свойства прямоугольника и биссектрисы. В прямоугольнике все углы прямые, то есть равны \(90^\circ\). Противоположные стороны равны. Биссектриса угла делит угол пополам. Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). Угол \(A\) равен \(90^\circ\). Биссектриса угла \(A\) делит его на два угла по \(45^\circ\). Пункт а) Биссектриса угла \(A\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(45,6\) см и \(7,85\) см. Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Тогда отрезки, на которые биссектриса делит сторону \(BC\), это \(BK\) и \(KC\). Длина стороны \(BC\) будет равна сумме длин этих отрезков. \(BC = BK + KC\) или \(BC = KC + BK\). В данном случае не указано, какой из отрезков больше или меньше, поэтому рассмотрим два возможных варианта расположения отрезков. Вариант 1: \(BK = 45,6\) см, \(KC = 7,85\) см. Тогда \(BC = 45,6 + 7,85 = 53,45\) см. Рассмотрим треугольник \(ABK\). Угол \(BAK\) равен \(45^\circ\) (так как \(AK\) - биссектриса угла \(A\)). Угол \(ABK\) равен \(90^\circ\) (так как это угол прямоугольника). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Значит, угол \(AKB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Так как углы \(BAK\) и \(AKB\) равны (\(45^\circ\)), то треугольник \(ABK\) равнобедренный. Следовательно, сторона \(AB\) равна стороне \(BK\). \(AB = BK = 45,6\) см. Теперь у нас есть длины двух смежных сторон прямоугольника: \(AB = 45,6\) см \(BC = 53,45\) см Периметр прямоугольника \(P\) вычисляется по формуле: \(P = 2 \cdot (длина + ширина)\). \(P = 2 \cdot (AB + BC)\) \(P = 2 \cdot (45,6 + 53,45)\) \(P = 2 \cdot (99,05)\) \(P = 198,1\) см. Вариант 2: \(BK = 7,85\) см, \(KC = 45,6\) см. Тогда \(BC = 7,85 + 45,6 = 53,45\) см. В этом случае, как и в первом, треугольник \(ABK\) равнобедренный, и \(AB = BK\). \(AB = BK = 7,85\) см. Теперь у нас есть длины двух смежных сторон прямоугольника: \(AB = 7,85\) см \(BC = 53,45\) см Периметр прямоугольника \(P\) вычисляется по формуле: \(P = 2 \cdot (AB + BC)\) \(P = 2 \cdot (7,85 + 53,45)\) \(P = 2 \cdot (61,3)\) \(P = 122,6\) см. Обычно, если не указано, в каком порядке делятся отрезки, предполагается, что точка \(K\) находится между \(B\) и \(C\), и отрезки даны в порядке следования от вершины \(B\). То есть \(BK\) - первый отрезок, \(KC\) - второй. Однако, в некоторых задачах это может быть не так. В данном случае, оба варианта логически возможны. Если бы биссектриса пересекала продолжение стороны, то это было бы указано. Примем, что отрезки даны в порядке \(BK\) и \(KC\). Тогда \(BK = 45,6\) см, \(KC = 7,85\) см. \(AB = BK = 45,6\) см. \(BC = 45,6 + 7,85 = 53,45\) см. \(P = 2 \cdot (45,6 + 53,45) = 2 \cdot 99,05 = 198,1\) см. Ответ для пункта а): \(198,1\) см. Пункт б) Биссектриса угла \(A\) делит сторону \(DC\) на отрезки \(2,7\) дм и \(4,5\) дм. Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(DC\) в точке \(M\). Тогда отрезки, на которые биссектриса делит сторону \(DC\), это \(DM\) и \(MC\). Длина стороны \(DC\) будет равна сумме длин этих отрезков. \(DC = DM + MC\) или \(DC = MC + DM\). Переведем дециметры в сантиметры для удобства, так как \(1\) дм = \(10\) см. \(2,7\) дм = \(2,7 \cdot 10 = 27\) см. \(4,5\) дм = \(4,5 \cdot 10 = 45\) см. Вариант 1: \(DM = 27\) см, \(MC = 45\) см. Тогда \(DC = 27 + 45 = 72\) см. Рассмотрим треугольник \(ADM\). Угол \(DAM\) равен \(45^\circ\) (так как \(AM\) - биссектриса угла \(A\)). Угол \(ADM\) равен \(90^\circ\) (так как это угол прямоугольника). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Значит, угол \(AMD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Так как углы \(DAM\) и \(AMD\) равны (\(45^\circ\)), то треугольник \(ADM\) равнобедренный. Следовательно, сторона \(AD\) равна стороне \(DM\). \(AD = DM = 27\) см. Теперь у нас есть длины двух смежных сторон прямоугольника: \(AD = 27\) см \(DC = 72\) см Периметр прямоугольника \(P\) вычисляется по формуле: \(P = 2 \cdot (длина + ширина)\). \(P = 2 \cdot (AD + DC)\) \(P = 2 \cdot (27 + 72)\) \(P = 2 \cdot (99)\) \(P = 198\) см. Вариант 2: \(DM = 45\) см, \(MC = 27\) см. Тогда \(DC = 45 + 27 = 72\) см. В этом случае, как и в первом, треугольник \(ADM\) равнобедренный, и \(AD = DM\). \(AD = DM = 45\) см. Теперь у нас есть длины двух смежных сторон прямоугольника: \(AD = 45\) см \(DC = 72\) см Периметр прямоугольника \(P\) вычисляется по формуле: \(P = 2 \cdot (AD + DC)\) \(P = 2 \cdot (45 + 72)\) \(P = 2 \cdot (117)\) \(P = 234\) см. Примем, что отрезки даны в порядке \(DM\) и \(MC\). Тогда \(DM = 2,7\) дм, \(MC = 4,5\) дм. \(AD = DM = 2,7\) дм. \(DC = 2,7 + 4,5 = 7,2\) дм. \(P = 2 \cdot (2,7 + 7,2) = 2 \cdot 9,9 = 19,8\) дм. Если перевести в сантиметры: \(AD = 27\) см. \(DC = 72\) см. \(P = 2 \cdot (27 + 72) = 2 \cdot 99 = 198\) см. Ответ для пункта б): \(19,8\) дм или \(198\) см. Окончательные ответы: а) \(198,1\) см. б) \(19,8\) дм.