Вопрос 1
Найти действительную и мнимую часть комплексного числа \(z = e^{\frac{\pi}{2}i+1}\)
Решение:
Для начала вспомним формулу Эйлера, которая связывает экспоненциальную функцию с тригонометрическими функциями:
\[e^{ix} = \cos x + i \sin x\]Также вспомним свойство степеней:
\[e^{a+b} = e^a \cdot e^b\]Применим эти свойства к нашему комплексному числу \(z\):
\[z = e^{\frac{\pi}{2}i+1}\]Разделим показатель степени на две части:
\[z = e^1 \cdot e^{\frac{\pi}{2}i}\]Теперь применим формулу Эйлера к \(e^{\frac{\pi}{2}i}\):
\[e^{\frac{\pi}{2}i} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\]Вычислим значения косинуса и синуса для угла \(\frac{\pi}{2}\) (что равно 90 градусам):
\[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\] \[\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\]Подставим эти значения обратно:
\[e^{\frac{\pi}{2}i} = 0 + i \cdot 1 = i\]Теперь подставим это обратно в выражение для \(z\):
\[z = e \cdot i\]Таким образом, комплексное число \(z\) можно записать как:
\[z = 0 + e \cdot i\]Действительная часть комплексного числа \(z\) (обозначается как \(\text{Re } z\)) - это часть, которая не содержит \(i\). В нашем случае это 0.
\[\text{Re } z = 0\]Мнимая часть комплексного числа \(z\) (обозначается как \(\text{Im } z\)) - это коэффициент при \(i\). В нашем случае это \(e\).
\[\text{Im } z = e\]Ответ:
Правильный вариант: 2. \(\text{Re } z = 0 \text{ Im } z = e\)
Вопрос 2
Найти модуль комплексного числа \(z = 4 - 4i\)
Решение:
Модуль комплексного числа \(z = a + bi\) вычисляется по формуле:
\[|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\]В нашем случае, комплексное число \(z = 4 - 4i\). Здесь \(a = 4\) (действительная часть) и \(b = -4\) (мнимая часть).
Подставим эти значения в формулу для модуля:
\[|z| = \sqrt{4^2 + (-4)^2}\]Вычислим квадраты:
\[4^2 = 16\] \[(-4)^2 = 16\]Теперь сложим их под корнем:
\[|z| = \sqrt{16 + 16}\] \[|z| = \sqrt{32}\]Упростим корень из 32. Мы можем представить 32 как произведение 16 и 2:
\[\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2}\]Используя свойство корней \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\):
\[\sqrt{32} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}\]Так как \(\sqrt{16} = 4\):
\[|z| = 4\sqrt{2}\]Ответ:
Правильный вариант: 1. \(4\sqrt{2}\)
Вопрос 3
Вычислить \(\lim_{z \to -i} \frac{z^2 + 3iz - 2}{z+i}\)
Решение:
Сначала попробуем подставить \(z = -i\) в выражение. Если мы подставим \(z = -i\) в знаменатель, то получим \(-i + i = 0\). Это означает, что предел имеет неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), и мы можем использовать правило Лопиталя или разложить числитель на множители.
Давайте попробуем разложить числитель на множители. Числитель \(z^2 + 3iz - 2\) является квадратным трехчленом относительно \(z\). Найдем корни этого квадратного уравнения \(z^2 + 3iz - 2 = 0\) с помощью формулы для корней квадратного уравнения \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=3i\), \(c=-2\).
\[D = b^2 - 4ac = (3i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)\] \[D = 9i^2 + 8\]Так как \(i^2 = -1\):
\[D = 9(-1) + 8 = -9 + 8 = -1\]Теперь найдем корни:
\[z = \frac{-3i \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1}\]Так как \(\sqrt{-1} = i\):
\[z = \frac{-3i \pm i}{2}\]Найдем два корня:
\[z_1 = \frac{-3i + i}{2} = \frac{-2i}{2} = -i\] \[z_2 = \frac{-3i - i}{2} = \frac{-4i}{2} = -2i\]Теперь мы можем разложить числитель на множители, используя корни \(z_1\) и \(z_2\):
\[z^2 + 3iz - 2 = (z - z_1)(z - z_2) = (z - (-i))(z - (-2i)) = (z + i)(z + 2i)\]Теперь подставим это разложение обратно в предел:
\[\lim_{z \to -i} \frac{(z + i)(z + 2i)}{z+i}\]Так как \(z \to -i\), \(z \neq -i\), поэтому мы можем сократить множитель \((z+i)\) в числителе и знаменателе:
\[\lim_{z \to -i} (z + 2i)\]Теперь подставим \(z = -i\) в упрощенное выражение:
\[-i + 2i = i\]Ответ:
Результат предела равен \(i\).