Вопрос 3
Вычислить \(\lim_{z \to -i} \frac{z^2 + 3iz - 2}{z+i}\)
Решение:
Сначала попробуем подставить \(z = -i\) в выражение. Если мы подставим \(z = -i\) в знаменатель, то получим \(-i + i = 0\). Если подставить \(z = -i\) в числитель:
\[(-i)^2 + 3i(-i) - 2 = i^2 - 3i^2 - 2 = -1 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0\]Это означает, что предел имеет неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Мы можем использовать правило Лопиталя или разложить числитель на множители.
Давайте разложим числитель на множители. Числитель \(z^2 + 3iz - 2\) является квадратным трехчленом относительно \(z\). Найдем корни этого квадратного уравнения \(z^2 + 3iz - 2 = 0\) с помощью формулы для корней квадратного уравнения \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=3i\), \(c=-2\).
Вычислим дискриминант \(D\):
\[D = b^2 - 4ac = (3i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)\] \[D = 9i^2 + 8\]Так как \(i^2 = -1\):
\[D = 9(-1) + 8 = -9 + 8 = -1\]Теперь найдем корни:
\[z = \frac{-3i \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1}\]Так как \(\sqrt{-1} = i\):
\[z = \frac{-3i \pm i}{2}\]Найдем два корня:
\[z_1 = \frac{-3i + i}{2} = \frac{-2i}{2} = -i\] \[z_2 = \frac{-3i - i}{2} = \frac{-4i}{2} = -2i\]Теперь мы можем разложить числитель на множители, используя корни \(z_1\) и \(z_2\):
\[z^2 + 3iz - 2 = (z - z_1)(z - z_2) = (z - (-i))(z - (-2i)) = (z + i)(z + 2i)\]Теперь подставим это разложение обратно в предел:
\[\lim_{z \to -i} \frac{(z + i)(z + 2i)}{z+i}\]Так как \(z \to -i\), \(z \neq -i\), поэтому мы можем сократить множитель \((z+i)\) в числителе и знаменателе:
\[\lim_{z \to -i} (z + 2i)\]Теперь подставим \(z = -i\) в упрощенное выражение:
\[-i + 2i = i\]Ответ:
Правильный вариант: 1. \(i\)
Вопрос 4
Вычислить \(\lim_{z \to -i} \frac{z-1}{z+1}\)
Решение:
Для вычисления этого предела, мы можем просто подставить значение \(z = -i\) в выражение, так как знаменатель не обращается в ноль при \(z = -i\).
Подставим \(z = -i\) в числитель:
\[\text{Числитель} = -i - 1\]Подставим \(z = -i\) в знаменатель:
\[\text{Знаменатель} = -i + 1\]Таким образом, предел равен:
\[\lim_{z \to -i} \frac{z-1}{z+1} = \frac{-i - 1}{-i + 1}\]Чтобы упростить это комплексное число, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю. Комплексно сопряженное к \(-i + 1\) это \(i + 1\) (или \(1+i\)).
\[\frac{-1 - i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}\]Вычислим числитель:
\[(-1 - i)(1 + i) = -1(1) -1(i) - i(1) - i(i)\] \[= -1 - i - i - i^2\]Так как \(i^2 = -1\):
\[= -1 - 2i - (-1)\] \[= -1 - 2i + 1\] \[= -2i\]Вычислим знаменатель. Используем формулу \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), где \(a=1\) и \(b=i\):
\[(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2\] \[= 1 - (-1)\] \[= 1 + 1\] \[= 2\]Теперь разделим числитель на знаменатель:
\[\frac{-2i}{2} = -i\]Ответ:
Правильный вариант: 3. \(-i\)