Решение задачи №335 (а): Система уравнений

№ 335 (а) Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 - xy - 3y^2 = 0 \\ x^2 - 3xy + 2y^2 = -1 \end{cases} \] Решение: Рассмотрим первое уравнение системы: \( 2x^2 - xy - 3y^2 = 0 \). Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на \( y^2 \) (при условии, что \( y \neq 0 \). Если \( y = 0 \), то из первого уравнения \( 2x^2 = 0 \), т.е. \( x = 0 \). Подставив \( (0; 0) \) во второе уравнение, получим \( 0 = -1 \), что неверно. Значит, \( y \neq 0 \)). \[ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} - 3 = 0 \] Пусть \( \frac{x}{y} = t \), тогда: \[ 2t^2 - t - 3 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \] \[ t_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1,5; \quad t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1 \] Отсюда получаем два случая: 1) \( \frac{x}{y} = 1,5 \Rightarrow x = 1,5y \) 2) \( \frac{x}{y} = -1 \Rightarrow x = -y \) Подставим каждое значение во второе уравнение системы \( x^2 - 3xy + 2y^2 = -1 \). Случай 1: \( x = 1,5y \) \[ (1,5y)^2 - 3(1,5y)y + 2y^2 = -1 \] \[ 2,25y^2 - 4,5y^2 + 2y^2 = -1 \] \[ -0,25y^2 = -1 \] \[ y^2 = 4 \] \[ y_1 = 2 \Rightarrow x_1 = 1,5 \cdot 2 = 3 \] \[ y_2 = -2 \Rightarrow x_2 = 1,5 \cdot (-2) = -3 \] Случай 2: \( x = -y \) \[ (-y)^2 - 3(-y)y + 2y^2 = -1 \] \[ y^2 + 3y^2 + 2y^2 = -1 \] \[ 6y^2 = -1 \] Так как \( y^2 \geq 0 \), уравнение \( 6y^2 = -1 \) не имеет действительных корней. Ответ: \( (3; 2), (-3; -2) \).