Решение задачи: прямоугольный треугольник и углы между векторами

Дано: прямоугольный треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = 30^\circ\), гипотенуза \(AB = 6\). Найдем длины катетов: 1. Катет \(BC\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит: \[BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\] 2. Катет \(AC\) найдем через косинус угла \(A\): \[AC = AB \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\] Часть I 1. Найти угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{CB}\). Векторы направлены последовательно. Чтобы найти угол между ними, нужно совместить их начала. Угол между прямой \(AC\) и \(CB\) равен \(90^\circ\). При совмещении начал векторов угол составит: \[(\widehat{\vec{AC}, \vec{CB}}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\] 2. Найти угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CA}\). Угол между прямыми \(AB\) и \(AC\) равен \(30^\circ\). Так как векторы направлены "друг к другу" (один к вершине \(A\), другой от нее), угол между ними равен: \[(\widehat{\vec{AB}, \vec{CA}}) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\] 3. Найти угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\). Угол \(\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\) оба направлены к вершине \(B\). Угол между ними равен углу треугольника: \[(\widehat{\vec{AB}, \vec{CB}}) = 60^\circ\] 4. Найти скалярное произведение \(\vec{CB} \cdot \vec{CA}\). Так как векторы перпендикулярны (\(\angle C = 90^\circ\)), их скалярное произведение равно нулю: \[\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos 90^\circ = 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 0 = 0\] 5. Найти скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{BA}\). Векторы противоположно направлены, угол между ними \(180^\circ\). \[\vec{AB} \cdot \vec{BA} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BA}| \cdot \cos 180^\circ = 6 \cdot 6 \cdot (-1) = -36\] Часть II 6. Найти скалярное произведение \(\vec{BC} \cdot \vec{BA}\). Используем формулу: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha\). Угол между векторами \(\vec{BC}\) и \(\vec{BA}\) (выходящими из одной точки \(B\)) равен \(\angle B = 60^\circ\). \[\vec{BC} \cdot \vec{BA} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{BA}| \cdot \cos 60^\circ\] \[\vec{BC} \cdot \vec{BA} = 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 9\] Ответ: а) 9.