Решение уравнения sin(2x - π/4) = -1/2 (Контрольная работа №2)

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа № 2 «Тригонометрические уравнения» 1 вариант 1. Решите уравнения: а) \( \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} \) Решение: Пусть \( y = 2x - \frac{\pi}{4} \). Тогда уравнение примет вид \( \sin y = -\frac{1}{2} \). Общее решение для \( \sin y = a \) имеет вид: \( y = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} \). Значит, \( y = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n \). Подставим обратно \( y = 2x - \frac{\pi}{4} \): \( 2x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n \) Рассмотрим два случая для \( n \): Случай 1: \( n \) - четное число. Пусть \( n = 2k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Тогда \( (-1)^{2k} = 1 \). \( 2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) \( 2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \) \( 2x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \) \( x = \frac{\pi}{24} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Случай 2: \( n \) - нечетное число. Пусть \( n = 2k+1 \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Тогда \( (-1)^{2k+1} = -1 \). \( 2x - \frac{\pi}{4} = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi (2k+1) \) \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi \) \( 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k \) Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \) \( 2x = \frac{5\pi}{12} + \pi + 2\pi k \) \( 2x = \frac{5\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} + 2\pi k \) \( 2x = \frac{17\pi}{12} + 2\pi k \) \( x = \frac{17\pi}{24} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Ответ: \( x = \frac{\pi}{24} + \pi k \), \( x = \frac{17\pi}{24} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). б) \( \cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Решение: Пусть \( y = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \). Тогда уравнение примет вид \( \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Общее решение для \( \cos y = a \) имеет вид: \( y = \pm \arccos a + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \). Значит, \( y = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \). Подставим обратно \( y = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \): \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) Рассмотрим два случая: Случай 1: \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) \( \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \) \( \frac{x}{3} = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \) Умножим обе части на 3: \( x = 3 \left(\frac{\pi}{12} + 2\pi n\right) \) \( x = \frac{3\pi}{12} + 6\pi n \) \( x = \frac{\pi}{4} + 6\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Случай 2: \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \) \( \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) Приведем дроби к общему знаменателю: \( -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} \) \( \frac{x}{3} = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n \) Умножим обе части на 3: \( x = 3 \left(-\frac{5\pi}{12} + 2\pi n\right) \) \( x = -\frac{15\pi}{12} + 6\pi n \) \( x = -\frac{5\pi}{4} + 6\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + 6\pi n \), \( x = -\frac{5\pi}{4} + 6\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). в) \( \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Решение: Пусть \( y = x - \frac{\pi}{3} \). Тогда уравнение примет вид \( \operatorname{tg} y = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Общее решение для \( \operatorname{tg} y = a \) имеет вид: \( y = \operatorname{arctg} a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \). Значит, \( y = \frac{\pi}{6} + \pi n \). Подставим обратно \( y = x - \frac{\pi}{3} \): \( x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n \) \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n \) Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). г) \( \sin 6x = \frac{9}{8} \) Решение: Мы знаем, что область значений функции \( \sin \alpha \) находится в пределах от -1 до 1, то есть \( -1 \le \sin \alpha \le 1 \). В данном уравнении \( \sin 6x = \frac{9}{8} \). Поскольку \( \frac{9}{8} = 1.125 \), то \( \frac{9}{8} > 1 \). Значение синуса не может быть больше 1. Следовательно, данное уравнение не имеет решений. Ответ: Уравнение не имеет решений. д) \( \cos\left(4x + \frac{\pi}{3}\right) = -1 \) Решение: Пусть \( y = 4x + \frac{\pi}{3} \). Тогда уравнение примет вид \( \cos y = -1 \). Общее решение для \( \cos y = -1 \) имеет вид: \( y = \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Подставим обратно \( y = 4x + \frac{\pi}{3} \): \( 4x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n \) \( 4x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) Приведем дроби к общему знаменателю: \( \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \) \( 4x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \) Разделим обе части на 4: \( x = \frac{2\pi}{3 \cdot 4} + \frac{2\pi n}{4} \) \( x = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \) \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \). е) \( \operatorname{tg}\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \) Решение: Пусть \( y = 3x + \frac{\pi}{6} \). Тогда уравнение примет вид \( \operatorname{tg} y = 1 \). Общее решение для \( \operatorname{tg} y = a \) имеет вид: \( y = \operatorname{arctg} a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} \). Значит, \( y = \frac{\pi}{4} + \pi n \). Подставим обратно \( y = 3x + \frac{\pi}{6} \): \( 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \pi n \) \( 3x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n \) Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \) \( 3x = \frac{\pi}{12} + \pi n \) Разделим обе части на 3: \( x = \frac{\pi}{12 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3} \) \( x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Ответ: \( x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \). ж) \( 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0 \) Решение: Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 + 3t - 2 = 0 \) Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \) \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4} \) Два возможных значения для \( t \): \( t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \) Теперь подставим обратно \( t = \sin x \): Случай 1: \( \sin x = \frac{1}{2} \) Общее решение: \( x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n \) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Случай 2: \( \sin x = -2 \) Как мы уже знаем, область значений функции \( \sin x \) находится в пределах от -1 до 1. Поскольку \( -2 < -1 \), уравнение \( \sin x = -2 \) не имеет решений. Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). з) \( \cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 \) Решение: Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \). Важно рассмотреть случай, когда \( \cos x = 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Подставим \( \cos x = 0 \) в исходное уравнение: \( 0^2 + \sqrt{3} \sin x \cdot 0 = 0 \) \( 0 = 0 \) Это означает, что \( \cos x = 0 \) является решением уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \). Например, если \( x = \frac{\pi}{2} \), то \( \cos x = 0 \), \( \sin x = 1 \). \( 0^2 + \sqrt{3} \cdot 1 \cdot 0 = 0 \). Верно. Если \( x = \frac{3\pi}{2} \), то \( \cos x = 0 \), \( \sin x = -1 \). \( 0^2 + \sqrt{3} \cdot (-1) \cdot 0 = 0 \). Верно. Таким образом, \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) является частью решения. Теперь рассмотрим случай, когда \( \cos x \neq 0 \). Разделим все члены уравнения на \( \cos^2 x \): \( \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{3} \sin x \cos x}{\cos^2 x} = \frac{0}{\cos^2 x} \) \( 1 + \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \) \( 1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x = 0 \) \( \sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1 \) \( \operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) Общее решение для \( \operatorname{tg} x = a \) имеет вид: \( x = \operatorname{arctg} a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). В нашем случае \( \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} \). Значит, \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Проверим, не входят ли решения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) в серию \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \). Если \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), то \( \operatorname{tg} x \) не определен. Значит, эти серии решений не пересекаются. Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( k, n \in \