Вопрос 5
Записать в алгебраической форме \(z = e^{2\pi i}\)
Решение:
Для записи комплексного числа из показательной формы в алгебраическую форму \(a + bi\), мы используем формулу Эйлера:
\[e^{ix} = \cos x + i \sin x\]В данном случае, \(x = 2\pi\). Подставим это значение в формулу Эйлера:
\[z = e^{2\pi i} = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi)\]Теперь вычислим значения косинуса и синуса для угла \(2\pi\) (что соответствует полному обороту на единичной окружности, то есть 360 градусам):
\[\cos(2\pi) = 1\] \[\sin(2\pi) = 0\]Подставим эти значения обратно в выражение для \(z\):
\[z = 1 + i \cdot 0\] \[z = 1\]Таким образом, комплексное число \(z = e^{2\pi i}\) в алгебраической форме равно 1.
Ответ:
Правильный вариант: 1. 1
Вопрос 6
Аргумент комплексного числа \(z = \cos\frac{\pi}{4} - i \sin\frac{\pi}{4}\) равен:
Решение:
Комплексное число в тригонометрической форме обычно записывается как \(z = r(\cos\phi + i \sin\phi)\), где \(r\) - модуль числа, а \(\phi\) - его аргумент.
В данном случае, у нас есть \(z = \cos\frac{\pi}{4} - i \sin\frac{\pi}{4}\). Мы видим, что модуль \(r=1\).
Однако, знак перед мнимой частью отрицательный. Чтобы привести его к стандартной форме \(\cos\phi + i \sin\phi\), мы можем использовать свойства четности косинуса и нечетности синуса:
\[\cos(-\phi) = \cos\phi\] \[\sin(-\phi) = -\sin\phi\]Применим эти свойства к нашему выражению. Мы хотим, чтобы \(\cos\phi = \cos\frac{\pi}{4}\) и \(\sin\phi = -\sin\frac{\pi}{4}\).
Из \(\cos\phi = \cos\frac{\pi}{4}\) следует, что \(\phi = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\) или \(\phi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.
Из \(\sin\phi = -\sin\frac{\pi}{4}\) следует, что \(\sin\phi = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\). Это означает, что \(\phi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\) или \(\phi = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\).
Общим значением, удовлетворяющим обоим условиям, является \(\phi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\).
Главное значение аргумента (обычно в интервале \((-\pi, \pi]\) или \([0, 2\pi)\)) будет \(\phi = -\frac{\pi}{4}\).
Ответ:
Правильный вариант: 1. \(-\frac{\pi}{4}\)
Вопрос 7
Вычислить \((1 + \sqrt{3}i)^9\)
Решение:
Для вычисления степени комплексного числа удобно сначала перевести его в тригонометрическую или показательную форму, а затем использовать формулу Муавра.
Пусть \(z = 1 + \sqrt{3}i\). Найдем модуль \(r\) и аргумент \(\phi\) этого числа.
Модуль \(r\):
\[r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\]Аргумент \(\phi\):
Действительная часть \(a = 1\), мнимая часть \(b = \sqrt{3}\). Обе части положительны, значит, число находится в первой четверти.
\[\cos\phi = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}\] \[\sin\phi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Из этих значений следует, что \(\phi = \frac{\pi}{3}\).
Теперь запишем число \(z\) в тригонометрической форме:
\[z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)\]Используем формулу Муавра для возведения в степень \(n\):
\[z^n = r^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))\]В нашем случае \(n=9\):
\[z^9 = 2^9\left(\cos\left(9 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(9 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right)\] \[z^9 = 2^9\left(\cos(3\pi) + i \sin(3\pi)\right)\]Вычислим \(2^9\):
\[2^9 = 512\]Вычислим значения косинуса и синуса для угла \(3\pi\):
\[\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1\] \[\sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0\]Подставим эти значения обратно:
\[z^9 = 512(-1 + i \cdot 0)\] \[z^9 = 512(-1)\] \[z^9 = -512\]Ответ:
Правильный вариант: 1. -512
Вопрос 8
Найти произведение чисел \(z_1 = 8 + 4i\) и \(z_2 = 4 - 10i\)
Решение:
Для нахождения произведения двух комплексных чисел \(z_1 = a + bi\) и \(z_2 = c + di\), мы умножаем их как обычные двучлены, помня, что \(i^2 = -1\):
\[z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2\] \[= ac + (ad + bc)i - bd\] \[= (ac - bd) + (ad + bc)i\]В нашем случае, \(z_1 = 8 + 4i\) и \(z_2 = 4 - 10i\).
Значит, \(a=8\), \(b=4\), \(c=4\), \(d=-10\).
Подставим эти значения в формулу:
Действительная часть: \(ac - bd = (8)(4) - (4)(-10)\)
\[= 32 - (-40)\] \[= 32 + 40\] \[= 72\]Мнимая часть: \(ad + bc = (8)(-10) + (4)(4)\)
\[= -80 + 16\] \[= -64\]Таким образом, произведение \(z_1 \cdot z_2\) равно:
\[z_1 \cdot z_2 = 72 - 64i\]Ответ:
Правильный вариант: 4. \(72-64i\)