Найдены решения задач по комплексным числам, включая запись числа e^(2πi) в алгебраической форме и определение аргумента комплексного числа cos(π/4) - i sin(π/4).
check_circle
Подробное решение
Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь.
Вопрос 5
Задание:
Записать в алгебраической форме \(z = e^{2\pi i}\)
Решение:
Для того чтобы записать комплексное число из показательной формы в алгебраическую, мы используем формулу Эйлера:
\[e^{ix} = \cos x + i \sin x\]
В нашем случае, \(x = 2\pi\). Подставляем это значение в формулу Эйлера:
\[z = e^{2\pi i} = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi)\]
Теперь вычислим значения косинуса и синуса для угла \(2\pi\):
\[\cos(2\pi) = 1\]
\[\sin(2\pi) = 0\]
Подставляем эти значения обратно в выражение для \(z\):
\[z = 1 + i \cdot 0\]
\[z = 1\]
Таким образом, комплексное число \(z = e^{2\pi i}\) в алгебраической форме равно 1.
Ответ:
1. 1
Вопрос 6
Задание:
Аргумент комплексного числа \(z = \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4}\) равен:
Решение:
Комплексное число в тригонометрической форме обычно записывается как:
\[z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\]
где \(r\) - модуль комплексного числа, а \(\varphi\) - его аргумент.
В данном нам выражении:
\[z = \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4}\]
Мы видим, что перед мнимой частью стоит знак минус. Чтобы привести это выражение к стандартной тригонометрической форме, мы можем использовать свойства четности косинуса и нечетности синуса:
\[\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\]
\[\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\]
Используя эти свойства, мы можем переписать наше число \(z\) следующим образом:
\[z = \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\]
Теперь это выражение находится в стандартной тригонометрической форме, где \(r=1\) (так как перед косинусом нет множителя, кроме 1) и аргумент \(\varphi\) равен \(-\frac{\pi}{4}\).
