Решение: (1 + √3i)^9

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь.

Вопрос 7

Задание:

Вычислить \((1 + \sqrt{3}i)^9\)

Решение:

Для вычисления степени комплексного числа удобно сначала перевести его в тригонометрическую или показательную форму, а затем использовать формулу Муавра. 1. Переведем число \(z = 1 + \sqrt{3}i\) в тригонометрическую форму. Алгебраическая форма комплексного числа: \(z = a + bi\), где \(a = 1\) и \(b = \sqrt{3}\). Найдем модуль \(r\): \[r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\] Найдем аргумент \(\varphi\): \[\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}\] \[\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Из этих значений следует, что \(\varphi = \frac{\pi}{3}\) (или 60 градусов). Таким образом, число \(z\) в тригонометрической форме: \[z = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)\] 2. Используем формулу Муавра для возведения в степень. Формула Муавра гласит: \[(r(\cos \varphi + i \sin \varphi))^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))\] В нашем случае \(n = 9\): \[z^9 = \left(2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)\right)^9 = 2^9 \left(\cos\left(9 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(9 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right)\] 3. Вычислим значения. \[2^9 = 512\] \[9 \cdot \frac{\pi}{3} = 3\pi\] Теперь подставим эти значения: \[z^9 = 512 (\cos(3\pi) + i \sin(3\pi))\] Вычислим \(\cos(3\pi)\) и \(\sin(3\pi)\): \[\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1\] \[\sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0\] Подставим эти значения: \[z^9 = 512 (-1 + i \cdot 0)\] \[z^9 = 512 \cdot (-1)\] \[z^9 = -512\]

Ответ:

1. -512

Вопрос 8

Задание:

Найти произведение чисел \(z_1 = 8 + 4i\) и \(z_2 = 4 - 10i\)

Решение:

Чтобы найти произведение двух комплексных чисел в алгебраической форме, мы просто перемножаем их как обычные двучлены, помня, что \(i^2 = -1\). Даны числа: \(z_1 = 8 + 4i\) \(z_2 = 4 - 10i\) Найдем произведение \(z_1 \cdot z_2\): \[z_1 \cdot z_2 = (8 + 4i)(4 - 10i)\] Раскроем скобки: \[z_1 \cdot z_2 = 8 \cdot 4 + 8 \cdot (-10i) + 4i \cdot 4 + 4i \cdot (-10i)\] \[z_1 \cdot z_2 = 32 - 80i + 16i - 40i^2\] Теперь заменим \(i^2\) на \(-1\): \[z_1 \cdot z_2 = 32 - 80i + 16i - 40(-1)\] \[z_1 \cdot z_2 = 32 - 80i + 16i + 40\] Сгруппируем действительные и мнимые части: \[z_1 \cdot z_2 = (32 + 40) + (-80 + 16)i\] \[z_1 \cdot z_2 = 72 - 64i\]

Ответ:

4. 72-64i