Решение: Найти Re(ω) и Im(ω), где ω = z³ + 2z

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вопрос 9. Пусть \( \omega = z^3 + 2z \), где \( z = x + iy \). Найти \( \text{Re } \omega \) и \( \text{Im } \omega \). Решение: Дано комплексное число \( z = x + iy \). Тогда \( z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy) \). И \( z^3 = z \cdot z^2 = (x + iy)((x^2 - y^2) + i(2xy)) \). Раскроем скобки: \( z^3 = x(x^2 - y^2) + x \cdot i(2xy) + iy(x^2 - y^2) + iy \cdot i(2xy) \) \( z^3 = x^3 - xy^2 + i(2x^2y) + i(x^2y - y^3) + i^2(2xy^2) \) \( z^3 = x^3 - xy^2 + i(2x^2y) + i(x^2y - y^3) - 2xy^2 \) Сгруппируем действительные и мнимые части: \( z^3 = (x^3 - xy^2 - 2xy^2) + i(2x^2y + x^2y - y^3) \) \( z^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3) \) Теперь найдем \( 2z \): \( 2z = 2(x + iy) = 2x + i(2y) \) Теперь сложим \( z^3 \) и \( 2z \), чтобы получить \( \omega \): \( \omega = z^3 + 2z = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3) + 2x + i(2y) \) Сгруппируем действительные и мнимые части для \( \omega \): \( \omega = (x^3 - 3xy^2 + 2x) + i(3x^2y - y^3 + 2y) \) Таким образом, Действительная часть \( \text{Re } \omega = x^3 - 3xy^2 + 2x \) Мнимая часть \( \text{Im } \omega = 3x^2y - y^3 + 2y \) Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту 2. Ответ: 2. \( \text{Re } \omega = x^3 - 3xy^2 + 2x; \text{ Im } \omega = 3x^2y - y^3 + 2y \) Вопрос 10. Вычислить интеграл \[ \oint_{|z-3|=1} \frac{5+z^2+z \cos z}{(z+3)^2(z^2+1)} dz \] Решение: Данный интеграл является контурным интегралом по замкнутому контуру в комплексной плоскости. Контур интегрирования задан как \( |z-3|=1 \). Это окружность с центром в точке \( z_0 = 3 \) и радиусом \( R = 1 \). Сначала найдем особые точки подынтегральной функции, то есть корни знаменателя: Знаменатель: \( (z+3)^2(z^2+1) = 0 \) Отсюда: 1. \( (z+3)^2 = 0 \Rightarrow z+3 = 0 \Rightarrow z_1 = -3 \) (полюс второго порядка) 2. \( z^2+1 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm i \) То есть \( z_2 = i \) (полюс первого порядка) И \( z_3 = -i \) (полюс первого порядка) Теперь проверим, какие из этих особых точек попадают внутрь контура \( |z-3|=1 \). Контур - это окружность с центром в точке \( (3, 0) \) и радиусом \( 1 \). 1. Для \( z_1 = -3 \): Расстояние от центра окружности до \( z_1 \): \( |-3 - 3| = |-6| = 6 \). Так как \( 6 > 1 \), точка \( z_1 = -3 \) находится вне контура. 2. Для \( z_2 = i \): Расстояние от центра окружности до \( z_2 \): \( |i - 3| = \sqrt{(-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \). Так как \( \sqrt{10} \approx 3.16 > 1 \), точка \( z_2 = i \) находится вне контура. 3. Для \( z_3 = -i \): Расстояние от центра окружности до \( z_3 \): \( |-i - 3| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \). Так как \( \sqrt{10} \approx 3.16 > 1 \), точка \( z_3 = -i \) находится вне контура. Все особые точки подынтегральной функции находятся вне контура интегрирования \( |z-3|=1 \). Согласно интегральной теореме Коши, если функция \( f(z) \) аналитична внутри и на замкнутом контуре \( C \), то интеграл от этой функции по контуру \( C \) равен нулю. В нашем случае, подынтегральная функция \( f(z) = \frac{5+z^2+z \cos z}{(z+3)^2(z^2+1)} \) аналитична внутри и на контуре \( |z-3|=1 \), так как все ее особые точки лежат вне этого контура. Следовательно, значение интеграла равно нулю. Ответ: 1. \( 0 \)