Закон Кулона и Напряженность Электрического Поля

Ниже представлены краткие и удобные для переписывания в тетрадь ответы на первые три вопроса из вашего списка по теме Электричество и магнетизм. Вопрос 1. Закон Кулона и напряженность электрического поля. Закон Кулона: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. \[ F = k \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2} \] где \( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \) Н·м²/Кл². Напряженность электрического поля \( \vec{E} \) — это силовая характеристика поля, равная отношению силы, действующей на пробный заряд, к величине этого заряда: \[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \] Для точечного заряда: \[ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \] Для неточечных (распределенных) зарядов используется принцип суперпозиции: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: \[ \vec{E} = \sum \vec{E}_i \quad \text{или} \quad \vec{E} = \int \frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \vec{r}_0 \] Вопрос 2. Теорема Гаусса. Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду внутри этой поверхности. Интегральная форма: \[ \oint_S \vec{E} d\vec{S} = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0} \] Дифференциальная форма: \[ \text{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \] где \( \rho \) — объемная плотность заряда. Дивергенция (\( \text{div} \)) — это скалярная величина, характеризующая плотность источников поля в данной точке. Применение: Теорема Гаусса позволяет легко находить напряженность полей симметричных тел (сферы, плоскости, цилиндра). Например, поле бесконечной плоскости: \( E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \). Вопрос 3. Электрический потенциал. Уравнения Пуассона и Лапласа. Потенциал \( \varphi \) — энергетическая характеристика поля, равная отношению потенциальной энергии заряда к величине этого заряда: \[ \varphi = \frac{W_p}{q} \] Связь напряженности и потенциала: Напряженность равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком: \[ \vec{E} = -\text{grad} \varphi = -\nabla \varphi \] Уравнение Пуассона (выводится из теоремы Гаусса в дифференциальной форме): \[ \Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \] где \( \Delta \) — оператор Лапласа (лапласиан). Уравнение Лапласа (частный случай для областей, где нет зарядов, т.е. \( \rho = 0 \)): \[ \Delta \varphi = 0 \] Эти уравнения являются фундаментальными для нахождения распределения потенциала в пространстве при заданных граничных условиях. В отечественной науке эти методы традиционно развивались великими учеными, такими как Остроградский, что подчеркивает высокий уровень нашей физико-математической школы.