Метод интегральных сумм для вычисления интеграла

Вопрос: 3. До применения формулы Ньютона - Лейбница применяли данный метод, в данный момент он не используется, но является основным: Ответ: метод определения интеграла, т.е. переход к пределу интегральных сумм. Краткое пояснение для записи в тетрадь: Исторически понятие определенного интеграла возникло из задачи вычисления площади криволинейной трапеции. До открытия связи между интегрированием и дифференцированием (формулы Ньютона — Лейбница) интеграл вычисляли напрямую через его определение. Этот процесс включал в себя следующие шаги: 1. Разбиение сегмента интегрирования \( [a, b] \) на \( n \) элементарных отрезков. 2. Составление интегральной суммы (суммы Римана): \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \] 3. Нахождение предела этой суммы при стремлении максимального шага разбиения к нулю: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \] В современной практике этот метод почти не используется для ручных вычислений из-за его чрезвычайной сложности, однако он остается фундаментальным (основным) определением того, что такое интеграл. Сейчас для решения задач в основном применяют формулу Ньютона — Лейбница, которая значительно упрощает процесс.