Универсальная тригонометрическая подстановка: решение

Вопрос: 7. С помощью какой универсальной подстановкой рационализируется тригонометрическая функция: Ответ: \( t = \text{tg}(x/2) \) Краткое пояснение для записи в тетрадь: Универсальная тригонометрическая подстановка — это метод нахождения интегралов вида \( \int R(\sin x, \cos x) dx \), где \( R \) — рациональная функция. Она позволяет свести интеграл от тригонометрических функций к интегралу от рациональной дроби. Суть метода заключается в замене переменной: \[ t = \text{tg} \frac{x}{2} \] При такой подстановке основные тригонометрические функции выражаются через \( t \) следующим образом: 1. \( \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \) 2. \( \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \) 3. Дифференциал \( dx = \frac{2dt}{1+t^2} \) Благодаря этим формулам любое рациональное выражение от синуса и косинуса превращается в рациональное выражение от переменной \( t \), которое интегрируется стандартными методами. Именно поэтому данная подстановка называется универсальной.