Решение задачи: Упрощение алгебраического выражения

Задание: Найди разность выражений: \(\frac{a^3 - 2a}{a + 2} + \frac{2a^2 + 4a - 16}{a^2 - 4} + 2a\) и \(a^2\). Решение: Для того чтобы найти разность, составим общее выражение: \[ \left( \frac{a^3 - 2a}{a + 2} + \frac{2a^2 + 4a - 16}{a^2 - 4} + 2a \right) - a^2 \] 1. Сначала упростим вторую дробь в скобках. Разложим знаменатель по формуле разности квадратов, а в числителе вынесем общий множитель: \[ \frac{2a^2 + 4a - 16}{a^2 - 4} = \frac{2(a^2 + 2a - 8)}{(a - 2)(a + 2)} \] Разложим квадратный трехчлен \(a^2 + 2a - 8\) на множители. Корни уравнения \(a^2 + 2a - 8 = 0\) по теореме Виета равны \(2\) и \(-4\). Значит: \[ a^2 + 2a - 8 = (a - 2)(a + 4) \] Подставим это в дробь: \[ \frac{2(a - 2)(a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2(a + 4)}{a + 2} = \frac{2a + 8}{a + 2} \] 2. Теперь перепишем всё выражение с общим знаменателем \(a + 2\): \[ \frac{a^3 - 2a}{a + 2} + \frac{2a + 8}{a + 2} + 2a - a^2 \] \[ \frac{a^3 - 2a + 2a + 8}{a + 2} + 2a - a^2 \] \[ \frac{a^3 + 8}{a + 2} + 2a - a^2 \] 3. Разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\): \[ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) \] Подставим в выражение: \[ \frac{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}{a + 2} + 2a - a^2 \] Сократим на \((a + 2)\): \[ a^2 - 2a + 4 + 2a - a^2 \] 4. Приведем подобные слагаемые: \[ (a^2 - a^2) + (-2a + 2a) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \] Ответ: 4