Решение: (3x²-8y²)/(x²-2xy) - (3xy-x²)/(xy-2y²)

Задание: Чему равна разность дробей \(\frac{3x^2 - 8y^2}{x^2 - 2xy} - \frac{3xy - x^2}{xy - 2y^2}\)? Решение: 1. Разложим знаменатели дробей на множители, чтобы найти общий знаменатель: В первой дроби вынесем \(x\): \(x^2 - 2xy = x(x - 2y)\). Во второй дроби вынесем \(y\): \(xy - 2y^2 = y(x - 2y)\). 2. Перепишем выражение: \[ \frac{3x^2 - 8y^2}{x(x - 2y)} - \frac{3xy - x^2}{y(x - 2y)} \] 3. Общим знаменателем будет \(xy(x - 2y)\). Дополнительный множитель для первой дроби — \(y\), для второй — \(x\): \[ \frac{(3x^2 - 8y^2) \cdot y - (3xy - x^2) \cdot x}{xy(x - 2y)} \] 4. Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{3x^2y - 8y^3 - (3x^2y - x^3)}{xy(x - 2y)} \] \[ \frac{3x^2y - 8y^3 - 3x^2y + x^3}{xy(x - 2y)} \] 5. Приведем подобные слагаемые в числителе (\(3x^2y\) и \(-3x^2y\) взаимно уничтожаются): \[ \frac{x^3 - 8y^3}{xy(x - 2y)} \] 6. Разложим числитель по формуле разности кубов \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[ x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \] 7. Подставим разложение в дробь и сократим на \((x - 2y)\): \[ \frac{(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)}{xy(x - 2y)} = \frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{xy} \] Сравнивая полученный результат с вариантами ответов на картинке, выбираем третий вариант. Ответ: \(\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{xy}\)