Решение задачи с комплексными числами: z1 * z2 и z1 / z2

Задание №7. Даны комплексные числа: \[ z_1 = 5 \left( \cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8} \right) \] \[ z_2 = -3 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \] Найти: \( z_1 \cdot z_2 \) и \( \frac{z_1}{z_2} \). Решение: 1. Приведем числа к стандартному тригонометрическому виду \( z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \), где \( r > 0 \). Для \( z_1 \): используем четность косинуса и нечетность синуса. \[ z_1 = 5 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{8} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{8} \right) \right) \] Здесь \( r_1 = 5 \), \( \varphi_1 = -\frac{\pi}{8} \). Для \( z_2 \): внесем минус внутрь скобок, используя формулы приведения \( -\cos \alpha = \cos(\alpha + \pi) \) и \( -\sin \alpha = \sin(\alpha + \pi) \). \[ z_2 = 3 \left( -\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 3 \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} + \pi \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} + \pi \right) \right) \] \[ z_2 = 3 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \] Здесь \( r_2 = 3 \), \( \varphi_2 = \frac{5\pi}{4} \). 2. Найдем произведение \( z_1 \cdot z_2 \). При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются: \[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)) \] \[ z_1 \cdot z_2 = 5 \cdot 3 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4} \right) \right) \] Вычислим аргумент: \( -\frac{\pi}{8} + \frac{10\pi}{8} = \frac{9\pi}{8} \). \[ z_1 \cdot z_2 = 15 \left( \cos \frac{9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8} \right) \] 3. Найдем частное \( \frac{z_1}{z_2} \). При делении модули делятся, а аргументы вычитаются: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)) \] \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{8} - \frac{5\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{8} - \frac{5\pi}{4} \right) \right) \] Вычислим аргумент: \( -\frac{\pi}{8} - \frac{10\pi}{8} = -\frac{11\pi}{8} \). Приведем аргумент к промежутку \( (-\pi; \pi] \), прибавив \( 2\pi \): \( -\frac{11\pi}{8} + \frac{16\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} \). \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{3} \left( \cos \frac{5\pi}{8} + i \sin \frac{5\pi}{8} \right) \] Ответ: \[ z_1 \cdot z_2 = 15 \left( \cos \frac{9\pi}{8} + i \sin \frac{9\pi}{8} \right) \] \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{3} \left( \cos \frac{5\pi}{8} + i \sin \frac{5\pi}{8} \right) \]