Решение задачи: Найти разность дробей

Задание: Найти разность дробей. \[ \frac{3a(x - 9a)}{x^2 - 3ax} - \frac{3a^2 - x^2}{ax - 3a^2} \] Решение: 1. Разложим знаменатели дробей на множители, чтобы найти общий знаменатель: В первой дроби вынесем \(x\) за скобки: \(x^2 - 3ax = x(x - 3a)\). Во второй дроби вынесем \(a\) за скобки: \(ax - 3a^2 = a(x - 3a)\). 2. Перепишем выражение с разложенными знаменателями: \[ \frac{3a(x - 9a)}{x(x - 3a)} - \frac{3a^2 - x^2}{a(x - 3a)} \] 3. Общим знаменателем будет выражение \(ax(x - 3a)\). Дополнительный множитель для первой дроби — \(a\), для второй — \(x\). 4. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{3a \cdot a(x - 9a) - x(3a^2 - x^2)}{ax(x - 3a)} \] 5. Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{3a^2(x - 9a) - (3a^2x - x^3)}{ax(x - 3a)} = \frac{3a^2x - 27a^3 - 3a^2x + x^3}{ax(x - 3a)} \] 6. Приведем подобные слагаемые в числителе (\(3a^2x\) и \(-3a^2x\) взаимно уничтожаются): \[ \frac{x^3 - 27a^3}{ax(x - 3a)} \] 7. Разложим числитель по формуле разности кубов \(A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)\): \[ x^3 - (3a)^3 = (x - 3a)(x^2 + 3ax + 9a^2) \] 8. Подставим разложение в дробь и сократим на общий множитель \((x - 3a)\): \[ \frac{(x - 3a)(x^2 + 3ax + 9a^2)}{ax(x - 3a)} = \frac{x^2 + 3ax + 9a^2}{ax} \] Ответ: второй вариант. \[ \frac{x^2 + 3ax + 9a^2}{ax} \]