Упрощение алгебраического выражения: решение

Задание: Упростить выражение. \[ \frac{2}{x - 4} - \frac{x + 8}{x^2 - 16} - \frac{1}{x} \] Решение: 1. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \] 2. Перепишем выражение: \[ \frac{2}{x - 4} - \frac{x + 8}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1}{x} \] 3. Найдем общий знаменатель для всех дробей. Им будет выражение \(x(x - 4)(x + 4)\), что равно \(x(x^2 - 16)\). Дополнительные множители: - для первой дроби: \(x(x + 4)\) - для второй дроби: \(x\) - для третьей дроби: \((x^2 - 16)\) 4. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{2 \cdot x(x + 4) - x(x + 8) - 1 \cdot (x^2 - 16)}{x(x^2 - 16)} \] 5. Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{2x^2 + 8x - x^2 - 8x - x^2 + 16}{x(x^2 - 16)} \] 6. Приведем подобные слагаемые: - Слагаемые с \(x^2\): \(2x^2 - x^2 - x^2 = 0\) - Слагаемые с \(x\): \(8x - 8x = 0\) - Свободный член: \(16\) В числителе остается только число \(16\). 7. Получаем итоговую дробь: \[ \frac{16}{x(x^2 - 16)} \] Ответ: четвертый вариант. \[ \frac{16}{x(x^2 - 16)} \]