Решение задачи: Несмещенная выборочная дисперсия

Решение задачи: Для нахождения несмещенной выборочной дисперсии \( s^2 \) (исправленной выборочной дисперсии) воспользуемся данными из таблицы распределения выборки. 1. Найдем объем выборки \( n \): \[ n = \sum n_i = 20 + 13 + 12 + 5 = 50 \] 2. Вычислим выборочное среднее \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{n} = \frac{2 \cdot 20 + 6 \cdot 13 + 8 \cdot 12 + 9 \cdot 5}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{40 + 78 + 96 + 45}{50} = \frac{259}{50} = 5,18 \] 3. Вычислим выборочную дисперсию \( D_B \) (смещенную): \[ D_B = \frac{\sum x_i^2 \cdot n_i}{n} - (\bar{x})^2 \] Сначала найдем сумму квадратов вариант с учетом их частот: \[ \sum x_i^2 \cdot n_i = 2^2 \cdot 20 + 6^2 \cdot 13 + 8^2 \cdot 12 + 9^2 \cdot 5 \] \[ = 4 \cdot 20 + 36 \cdot 13 + 64 \cdot 12 + 81 \cdot 5 = 80 + 468 + 768 + 405 = 1721 \] Теперь подставим в формулу дисперсии: \[ D_B = \frac{1721}{50} - (5,18)^2 = 34,42 - 26,8324 = 7,5876 \] 4. Найдем несмещенную (исправленную) выборочную дисперсию \( s^2 \): Формула связи между исправленной и обычной выборочной дисперсией: \[ s^2 = \frac{n}{n-1} \cdot D_B \] \[ s^2 = \frac{50}{50-1} \cdot 7,5876 = \frac{50}{49} \cdot 7,5876 \approx 1,0204 \cdot 7,5876 \approx 7,7424 \] Ответ: Несмещенная выборочная дисперсия \( s^2 \approx 7,74 \).