Решение дифференциального уравнения 2y'' - 7y' + 3y = (x + 6)e^(9x)

Задание 6. Решить дифференциальное уравнение. Дано: Дифференциальное уравнение: \(2y'' - 7y' + 3y = f_n(x)\) Функция \(f_n(x) = (x + b)e^{ax}\) Параметры: \(n = 1\), \(a = 9\), \(b = 6\). Подставим значения \(a\) и \(b\) в функцию \(f_n(x)\): \(f_1(x) = (x + 6)e^{9x}\) Таким образом, нам нужно решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \[2y'' - 7y' + 3y = (x + 6)e^{9x}\] Решение такого уравнения состоит из двух частей: общего решения однородного уравнения \(y_0\) и частного решения неоднородного уравнения \(y_ч\). Общее решение будет иметь вид: \(y = y_0 + y_ч\). Шаг 1: Находим общее решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение для однородного уравнения \(2y'' - 7y' + 3y = 0\): \[2\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0\] Находим корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\] \[\lambda_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}\] \[\lambda_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] \[\lambda_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\] Так как корни действительные и различные, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[y_0 = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}\] \[y_0 = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{3x}\] Шаг 2: Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид \(f(x) = P_m(x)e^{\alpha x}\), где \(P_m(x) = x + 6\) (многочлен первой степени, то есть \(m = 1\)) и \(\alpha = 9\). Частное решение ищем в виде \(y_ч = x^k Q_m(x)e^{\alpha x}\), где \(Q_m(x)\) - многочлен той же степени, что и \(P_m(x)\), а \(k\) - кратность корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении. Проверим, является ли \(\alpha = 9\) корнем характеристического уравнения: \(\lambda_1 = \frac{1}{2}\), \(\lambda_2 = 3\). \(\alpha = 9\) не является корнем характеристического уравнения, поэтому \(k = 0\). Тогда частное решение ищем в виде: \[y_ч = (Ax + B)e^{9x}\] Найдем первую и вторую производные \(y_ч\): \[y_ч' = A e^{9x} + (Ax + B) \cdot 9e^{9x} = (A + 9Ax + 9B)e^{9x}\] \[y_ч'' = 9A e^{9x} + (A + 9Ax + 9B) \cdot 9e^{9x} = (9A + 9A + 81Ax + 81B)e^{9x} = (18A + 81Ax + 81B)e^{9x}\] Подставим \(y_ч\), \(y_ч'\), \(y_ч''\) в исходное неоднородное уравнение: \[2(18A + 81Ax + 81B)e^{9x} - 7(A + 9Ax + 9B)e^{9x} + 3(Ax + B)e^{9x} = (x + 6)e^{9x}\] Разделим обе части на \(e^{9x}\) (так как \(e^{9x} \neq 0\)): \[2(18A + 81Ax + 81B) - 7(A + 9Ax + 9B) + 3(Ax + B) = x + 6\] Раскроем скобки: \[36A + 162Ax + 162B - 7A - 63Ax - 63B + 3Ax + 3B = x + 6\] Сгруппируем члены с \(x\) и свободные члены: \[(162A - 63A + 3A)x + (36A + 162B - 7A - 63B + 3B) = x + 6\] \[(99A + 3A)x + (29A + 102B) = x + 6\] \[102Ax + (29A + 102B) = x + 6\] Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\): При \(x^1\): \(102A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{102}\) При \(x^0\): \(29A + 102B = 6\) Подставим значение \(A\) во второе уравнение: \[29 \cdot \frac{1}{102} + 102B = 6\] \[\frac{29}{102} + 102B = 6\] \[102B = 6 - \frac{29}{102}\] \[102B = \frac{6 \cdot 102 - 29}{102}\] \[102B = \frac{612 - 29}{102}\] \[102B = \frac{583}{102}\] \[B = \frac{583}{102 \cdot 102} = \frac{583}{10404}\] Таким образом, частное решение: \[y_ч = \left(\frac{1}{102}x + \frac{583}{10404}\right)e^{9x}\] Шаг 3: Записываем общее решение неоднородного уравнения. Общее решение \(y = y_0 + y_ч\): \[y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{3x} + \left(\frac{1}{102}x + \frac{583}{10404}\right)e^{9x}\] Ответ: \[y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{3x} + \left(\frac{1}{102}x + \frac{583}{10404}\right)e^{9x}\]