Решение задачи на деление комплексных чисел: z2/z1 = (2+2i)/(1+i)

Хорошо, давайте решим задачи из Вопросов 26 и 27.

Вопрос 26:

Выполнить деление \(\frac{z_2}{z_1}\) комплексных чисел \(z_1 = 1 + i\) и \(z_2 = 2 + 2i\).

Для деления комплексных чисел \(\frac{z_2}{z_1}\) мы умножаем числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю. Комплексно сопряженное к \(z_1 = a + bi\) это \(\bar{z_1} = a - bi\). Тогда \(\frac{z_2}{z_1} = \frac{z_2 \cdot \bar{z_1}}{z_1 \cdot \bar{z_1}}\). Знаменатель \(z_1 \cdot \bar{z_1} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2\). В нашем случае \(z_1 = 1 + i\) и \(z_2 = 2 + 2i\). Комплексно сопряженное к \(z_1\) это \(\bar{z_1} = 1 - i\). Вычисляем знаменатель: \(z_1 \cdot \bar{z_1} = (1+i)(1-i) = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2\). Вычисляем числитель: \(z_2 \cdot \bar{z_1} = (2+2i)(1-i)\) Раскрываем скобки: \((2)(1) + (2)(-i) + (2i)(1) + (2i)(-i)\) \(2 - 2i + 2i - 2i^2\) \(2 - 2(-1)\) \(2 + 2 = 4\) Теперь собираем дробь: \(\frac{z_2}{z_1} = \frac{4}{2} = 2\). Ответ: **2**

Вопрос 27:

Вычислить \(\lim_{z \to 1-i} \frac{z^2 - z(1-2i) - 1 - i}{z - (1-i)}\)

Обозначим \(z_0 = 1-i\). Тогда предел имеет вид \(\lim_{z \to z_0} \frac{z^2 - z(1-2i) - 1 - i}{z - z_0}\). Заметим, что если подставить \(z = z_0\) в знаменатель, он обратится в ноль. Если подставить \(z = z_0\) в числитель, то: \(z_0^2 - z_0(1-2i) - 1 - i\) \((1-i)^2 - (1-i)(1-2i) - 1 - i\) \((1 - 2i + i^2) - (1 - 2i - i + 2i^2) - 1 - i\) \((1 - 2i - 1) - (1 - 3i - 2) - 1 - i\) \((-2i) - (-1 - 3i) - 1 - i\) \(-2i + 1 + 3i - 1 - i\) \((1 - 1) + (-2 + 3 - 1)i = 0 + 0i = 0\) Так как и числитель, и знаменатель обращаются в ноль при \(z = 1-i\), это неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Мы можем использовать правило Лопиталя или разложить числитель на множители. Давайте попробуем разложить числитель на множители. Пусть \(P(z) = z^2 - z(1-2i) - 1 - i\). Мы знаем, что \(z_0 = 1-i\) является корнем этого квадратного уравнения. Тогда \(P(z)\) можно записать как \((z - z_0)(z - z_1)\) для некоторого второго корня \(z_1\). По теореме Виета, сумма корней \(z_0 + z_1 = -( -(1-2i) ) = 1-2i\). \(z_1 = (1-2i) - z_0 = (1-2i) - (1-i) = 1 - 2i - 1 + i = -i\). Значит, числитель \(z^2 - z(1-2i) - 1 - i = (z - (1-i))(z - (-i)) = (z - (1-i))(z + i)\). Теперь подставим это в предел: \(\lim_{z \to 1-i} \frac{(z - (1-i))(z + i)}{z - (1-i)}\) Поскольку \(z \to 1-i\), но \(z \neq 1-i\), мы можем сократить множитель \((z - (1-i))\): \(\lim_{z \to 1-i} (z + i)\) Теперь подставляем \(z = 1-i\): \((1-i) + i = 1\) Ответ: **1**