Решение задач по геометрии и показательным уравнениям

Ниже представлены решения задач с левой страницы (геометрия) и правой страницы (показательные уравнения), оформленные для записи в тетрадь. Задачи по геометрии (левая страница) Задача №16 Дано: параллелограмм, стороны \(a = 9\), \(b = 12\). Высота к меньшей стороне \(h_a = 8\). Найти высоту к большей стороне \(h_b\). Решение: Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами: \[S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\] Подставим известные значения: \[9 \cdot 8 = 12 \cdot h_b\] \[72 = 12 \cdot h_b\] \[h_b = 72 : 12 = 6\] Ответ: 6. Задача №18 Дано: ромб, сумма двух углов равна \(120^{\circ}\), периметр \(P = 68\). Найти меньшую диагональ. Решение: 1) Сумма соседних углов ромба \(180^{\circ}\), значит, данные углы — противоположные и острые. Каждый из них равен \(120^{\circ} : 2 = 60^{\circ}\). 2) Сторона ромба \(a = P : 4 = 68 : 4 = 17\). 3) Меньшая диагональ делит ромб на два равнобедренных треугольника с углом \(60^{\circ}\), то есть на равносторонние треугольники. Следовательно, меньшая диагональ равна стороне ромба. \[d = a = 17\] Ответ: 17. Задача №19 Дано: параллелограмм, диагонали являются биссектрисами, \(d_1 = 16\), \(d_2 = 30\). Найти периметр. Решение: 1) Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб. 2) Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Половины диагоналей равны 8 и 15. 3) По теореме Пифагора найдем сторону ромба \(a\): \[a = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\] 4) Периметр ромба: \[P = 4a = 4 \cdot 17 = 68\] Ответ: 68. Задача №20 Дано: ромб \(ABCD\), \(AC = 30\), \(AB = 3\sqrt{34}\). Найти \(\text{tg} \angle BAC\). Решение: 1) Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. В прямоугольном треугольнике \(ABO\): \(AO = AC : 2 = 15\). 2) Найдем \(BO\) по теореме Пифагора: \[BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(3\sqrt{34})^2 - 15^2} = \sqrt{9 \cdot 34 - 225} = \sqrt{306 - 225} = \sqrt{81} = 9\] 3) Тангенс угла \(BAC\) в треугольнике \(ABO\): \[\text{tg} \angle BAC = \frac{BO}{AO} = \frac{9}{15} = 0,6\] Ответ: 0,6. Задача №21 Дано: прямоугольник, \(S = 660\), сторона \(a = 11\). Найти диагональ. Решение: 1) Найдем вторую сторону \(b\): \[b = S : a = 660 : 11 = 60\] 2) По теореме Пифагора найдем диагональ \(d\): \[d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{121 + 3600} = \sqrt{3721} = 61\] Ответ: 61. Показательные уравнения (правая страница) №9. \(3^{3x-4} : 3^{-5x+2} = 27\) \[3^{(3x-4) - (-5x+2)} = 3^3\] \[3x - 4 + 5x - 2 = 3\] \[8x - 6 = 3\] \[8x = 9 \Rightarrow x = 1,125\] №10. \(6^{2x-6} \cdot 6^{5-3x} = 216\) \[6^{(2x-6) + (5-3x)} = 6^3\] \[-x - 1 = 3\] \[-x = 4 \Rightarrow x = -4\] №11. \(4^{x+4} \cdot 4^{5-2x} = 16\) \[4^{x+4+5-2x} = 4^2\] \[-x + 9 = 2\] \[-x = -7 \Rightarrow x = 7\] №12. \((\frac{1}{4})^{4x+1} \cdot (\frac{1}{4})^{5-2x} = \frac{1}{16}\) \[(\frac{1}{4})^{4x+1+5-2x} = (\frac{1}{4})^2\] \[2x + 6 = 2\] \[2x = -4 \Rightarrow x = -2\] №13. \(2^{-3x+1} \cdot 2^{-x-5} = \frac{1}{64}\) \[2^{-3x+1-x-5} = 2^{-6}\] \[-4x - 4 = -6\] \[-4x = -2 \Rightarrow x = 0,5\] №14. \(3^{2x-5} \cdot 3^{2x-3} = \frac{1}{81}\) \[3^{2x-5+2x-3} = 3^{-4}\] \[4x - 8 = -4\] \[4x = 4 \Rightarrow x = 1\] №15. \(2^{2x-3} = 2^{x-2}\) \[2x - 3 = x - 2\] \[2x - x = 3 - 2\] \[x = 1\]