Решение системы уравнений и задачи про прямоугольник

Задание 1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x + y = 10 \\ x^2 - y = 8 \end{cases} \] Решение: Выразим \(y\) из первого уравнения: \[ y = 10 - 3x \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ x^2 - (10 - 3x) = 8 \] \[ x^2 - 10 + 3x - 8 = 0 \] \[ x^2 + 3x - 18 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = -6 \] Найдем соответствующие значения \(y\): Если \(x_1 = 3\), то \(y_1 = 10 - 3 \cdot 3 = 1\). Если \(x_2 = -6\), то \(y_2 = 10 - 3 \cdot (-6) = 10 + 18 = 28\). Ответ: (3; 1), (-6; 28). Задание 2. Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Периметр \(P = 2(a + b) = 14\), значит \(a + b = 7\). Диагональ по теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = 5^2 = 25\). Составим систему: \[ \begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \] Выразим \(b = 7 - a\) и подставим во второе: \[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \] \[ a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25 \] \[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \] Разделим на 2: \[ a^2 - 7a + 12 = 0 \] По теореме Виета корни: \(a_1 = 3\), \(a_2 = 4\). Если \(a = 3\), то \(b = 4\). Если \(a = 4\), то \(b = 3\). Ответ: 3 см и 4 см. Задание 3. Найдем точки пересечения, решив систему: \[ \begin{cases} y = x^2 - 14 \\ x + y = 6 \end{cases} \] Подставим \(y\) из первого уравнения во второе: \[ x + (x^2 - 14) = 6 \] \[ x^2 + x - 20 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -5, x_2 = 4 \] Найдем \(y\): Если \(x_1 = -5\), то \(y_1 = 6 - (-5) = 11\). Если \(x_2 = 4\), то \(y_2 = 6 - 4 = 2\). Ответ: (-5; 11), (4; 2). Задание 4. Изобразите множество решений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \ge -x - 2 \end{cases} \] Описание для тетради: 1. Первое неравенство задает круг с центром в начале координат (0;0) и радиусом \(R = 4\). Нужно заштриховать область внутри круга. 2. Второе неравенство задает полуплоскость выше прямой \(y = -x - 2\). Прямая проходит через точки (0; -2) и (-2; 0). Решением является сегмент круга, находящийся выше этой прямой. Задание 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ 3x - y = 3 \end{cases} \] Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = 3x - 3\). Подставим в первое: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{3x - 3 + x}{x(3x - 3)} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{4x - 3}{3x^2 - 3x} = \frac{1}{2} \] \[ 2(4x - 3) = 3x^2 - 3x \] \[ 8x - 6 = 3x^2 - 3x \] \[ 3x^2 - 11x + 6 = 0 \] \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 \] \[ x_1 = \frac{11 + 7}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Найдем \(y\): Если \(x_1 = 3\), то \(y_1 = 3 \cdot 3 - 3 = 6\). Если \(x_2 = \frac{2}{3}\), то \(y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 3 = 2 - 3 = -1\). Ответ: (3; 6), (2/3; -1).