Вопрос 26
Выполнить деление \(\frac{z_2}{z_1}\) комплексных чисел \(z_1 = 1 + i\) и \(z_2 = 2 + 2i\).
Решение:
Чтобы разделить два комплексных числа, нужно умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Для числа \(z_1 = 1 + i\), сопряженное число будет \(\overline{z_1} = 1 - i\).
Вычислим \(\frac{z_2}{z_1}\):
\[ \frac{z_2}{z_1} = \frac{2 + 2i}{1 + i} \]Умножим числитель и знаменатель на \((1 - i)\):
\[ \frac{2 + 2i}{1 + i} = \frac{(2 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} \]Раскроем скобки в числителе:
\[ (2 + 2i)(1 - i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 2i \cdot 1 + 2i \cdot (-i) \] \[ = 2 - 2i + 2i - 2i^2 \]Так как \(i^2 = -1\), то \(-2i^2 = -2(-1) = 2\).
\[ = 2 - 2i + 2i + 2 = 4 \]Раскроем скобки в знаменателе (используем формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)):
\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 \]Так как \(i^2 = -1\), то \(-i^2 = -(-1) = 1\).
\[ = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \]Теперь подставим полученные значения обратно в дробь:
\[ \frac{4}{2} = 2 \]Таким образом, результат деления комплексных чисел равен 2.
Ответ: 2
Вопрос 27
Вычислить \(\lim_{z \to 1-i} \frac{z^2 - z(1-2i) - 1 - i}{z - (1-i)}\)
Решение:
Обозначим \(z_0 = 1-i\). Тогда предел имеет вид \(\lim_{z \to z_0} \frac{z^2 - z(1-2i) - 1 - i}{z - z_0}\).
Сначала подставим \(z = 1-i\) в числитель, чтобы проверить, является ли это неопределенностью типа \(\frac{0}{0}\).
Числитель: \(z^2 - z(1-2i) - 1 - i\)
Подставим \(z = 1-i\):
\[ (1-i)^2 - (1-i)(1-2i) - 1 - i \]Вычислим \((1-i)^2\):
\[ (1-i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \]Вычислим \((1-i)(1-2i)\):
\[ (1-i)(1-2i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2i) + (-i) \cdot 1 + (-i) \cdot (-2i) \] \[ = 1 - 2i - i + 2i^2 = 1 - 3i - 2 = -1 - 3i \]Теперь подставим эти значения обратно в числитель:
\[ (-2i) - (-1 - 3i) - 1 - i \] \[ = -2i + 1 + 3i - 1 - i \] \[ = (1 - 1) + (-2i + 3i - i) = 0 + 0i = 0 \]Знаменатель при \(z = 1-i\) равен \( (1-i) - (1-i) = 0 \). Таким образом, мы имеем неопределенность \(\frac{0}{0}\).
Для раскрытия этой неопределенности можно использовать правило Лопиталя или разложить числитель на множители.
Способ 1: Разложение на множители
Если \(z_0\) является корнем многочлена в числителе, то числитель можно разделить на \((z - z_0)\).
Пусть \(P(z) = z^2 - z(1-2i) - 1 - i\).
Мы знаем, что \(z_0 = 1-i\) является корнем \(P(z)\). Тогда \(P(z)\) можно представить как \((z - (1-i))(z - z_1)\), где \(z_1\) - второй корень.
По теореме Виета для квадратного уравнения \(az^2 + bz + c = 0\), сумма корней \(z_0 + z_1 = -\frac{b}{a}\), а произведение корней \(z_0 z_1 = \frac{c}{a}\).
В нашем случае \(a=1\), \(b = -(1-2i)\), \(c = -(1+i)\).
Сумма корней: \(z_0 + z_1 = -(-(1-2i)) = 1-2i\).
Мы знаем \(z_0 = 1-i\), тогда:
\[ (1-i) + z_1 = 1-2i \] \[ z_1 = (1-2i) - (1-i) \] \[ z_1 = 1 - 2i - 1 + i \] \[ z_1 = -i \]Таким образом, числитель можно записать как:
\[ z^2 - z(1-2i) - 1 - i = (z - (1-i))(z - (-i)) = (z - (1-i))(z + i) \]Теперь подставим это в предел:
\[ \lim_{z \to 1-i} \frac{(z - (1-i))(z + i)}{z - (1-i)} \]Сократим \((z - (1-i))\) (поскольку \(z \to 1-i\), но \(z \neq 1-i\)):
\[ \lim_{z \to 1-i} (z + i) \]Теперь подставим \(z = 1-i\):
\[ (1-i) + i = 1 \]Способ 2: Правило Лопиталя
Если предел имеет вид \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то можно применить правило Лопиталя: \(\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \to z_0} \frac{f'(z)}{g'(z)}\).
Найдем производную числителя \(f(z) = z^2 - z(1-2i) - 1 - i\):
\[ f'(z) = \frac{d}{dz}(z^2 - z(1-2i) - 1 - i) = 2z - (1-2i) \]Найдем производную знаменателя \(g(z) = z - (1-i)\):
\[ g'(z) = \frac{d}{dz}(z - (1-i)) = 1 \]Теперь вычислим предел отношения производных:
\[ \lim_{z \to 1-i} \frac{2z - (1-2i)}{1} \]Подставим \(z = 1-i\):
\[ 2(1-i) - (1-2i) \] \[ = 2 - 2i - 1 + 2i \] \[ = (2 - 1) + (-2i + 2i) \] \[ = 1 + 0i = 1 \]Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 1