Решение задачи: перестановки букв в слове ОДЕКОЛОН

Задача: Аня составляет слова, переставляя буквы в слове ОДЕКОЛОН, избегая слов, где соседние буквы — одинаковые. Сколько различных слов, включая исходное, может составить Аня? Решение: 1. Проанализируем состав слова ОДЕКОЛОН. В слове 8 букв: О (3 штуки), Д (1), Е (1), К (1), Л (1), Н (1). 2. Найдем общее количество перестановок букв без учета ограничений. Используем формулу для перестановок с повторениями: \[ P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!} \] В нашем случае: \[ N_{total} = \frac{8!}{3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{40320}{6} = 6720 \] 3. Теперь вычтем варианты, где одинаковые буквы (три буквы О) стоят рядом. Для этого воспользуемся методом включений-исключений. Пусть событие А — хотя бы две буквы О стоят рядом. Чтобы было проще, сначала найдем количество способов, где буквы О НЕ стоят рядом. Для этого расставим остальные 5 букв (Д, Е, К, Л, Н). Количество их перестановок: \[ 5! = 120 \] Между этими 5 буквами (и по краям) есть 6 свободных мест, куда можно поставить буквы О: _ Б _ Б _ Б _ Б _ Б _ Количество способов выбрать 3 места из 6 для букв О: \[ C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = 20 \] Тогда количество слов, где никакие две буквы О не стоят рядом: \[ N_{good} = 120 \cdot 20 = 2400 \] 4. Проверка условия задачи. В условии сказано: "избегая слов, где соседние буквы — одинаковые". В данном слове повторяются только буквы О. Значит, нам нужно, чтобы ни одна пара букв О не стояла рядом. Это в точности то, что мы вычислили в предыдущем пункте. Ответ: 2400.