Решение задачи: sin α = 0.8, 0 < α < π/2

Вот решения задач из вашего зачёта. Зачёт «Основные тригонометрические формулы» Вариант 1. 1. Известно, что \( \sin \alpha = 0.8 \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Найдите значение трёх других тригонометрических функций. Решение: Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \( \alpha \) находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Найдём \( \cos \alpha \): Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \) \( \cos^2 \alpha = 1 - (0.8)^2 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - 0.64 \) \( \cos^2 \alpha = 0.36 \) \( \cos \alpha = \sqrt{0.36} \) (так как \( \alpha \) в первой четверти, \( \cos \alpha > 0 \)) \( \cos \alpha = 0.6 \) Найдём \( \text{tg} \alpha \): \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) \( \text{tg} \alpha = \frac{0.8}{0.6} \) \( \text{tg} \alpha = \frac{8}{6} \) \( \text{tg} \alpha = \frac{4}{3} \) Найдём \( \text{ctg} \alpha \): \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \) \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\frac{4}{3}} \) \( \text{ctg} \alpha = \frac{3}{4} \) Ответ: \( \cos \alpha = 0.6 \), \( \text{tg} \alpha = \frac{4}{3} \), \( \text{ctg} \alpha = \frac{3}{4} \). 2. Упростите выражение: а) \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \text{tg}^2 \alpha \) Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Тогда выражение становится: \( 1 + \text{tg}^2 \alpha \) Также известно, что \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). Ответ: \( 1 + \text{tg}^2 \alpha \) или \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). б) \( \frac{\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin (\pi - \alpha)} \) Решение: Используем формулы приведения: \( \cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha \) (так как \( \frac{3\pi}{2} + \alpha \) находится в IV четверти, где косинус положителен, и функция меняется на синус) \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (так как \( \pi - \alpha \) находится во II четверти, где синус положителен, и функция не меняется) Подставим эти значения в выражение: \( \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} \) При условии, что \( \sin \alpha \neq 0 \), выражение равно 1. Ответ: 1. 3. Вычислите: \( \sin 300^\circ \) Решение: Угол \( 300^\circ \) можно представить как \( 360^\circ - 60^\circ \) или \( 270^\circ + 30^\circ \). Используем формулу приведения: \( \sin (360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha \). \( \sin 300^\circ = \sin (360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ \) Известно, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Следовательно, \( \sin 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \). 4. Упростите выражение: \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha \) Решение: Известно, что \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \). Подставим это в выражение: \( (1 + \text{ctg}^2 \alpha) - \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha \) Раскроем скобки: \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha \) Сократим \( \text{ctg}^2 \alpha \) и \( -\text{ctg}^2 \alpha \): \( 1 - \cos^2 \alpha \) Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), откуда \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \). Ответ: \( \sin^2 \alpha \). 5. Докажите тождество: \( \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} + 2\text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) Решение: Докажем тождество, преобразуя левую часть (ЛЧ) к правой части (ПЧ). Левая часть: \( \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} + 2\text{tg}^2 \alpha \) Рассмотрим числитель первой дроби: \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha \). Это разность квадратов: \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \) Так как \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), то \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \). Рассмотрим знаменатель первой дроби: \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \). Это разность квадратов: \( (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \) Так как \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \), то знаменатель равен \( \cos^2 \alpha \). Теперь первая дробь принимает вид: \( \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \) Разделим числитель на знаменатель: \( \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 - \text{tg}^2 \alpha \) Теперь подставим это обратно в левую часть тождества: ЛЧ \( = (1 - \text{tg}^2 \alpha) + 2\text{tg}^2 \alpha \) ЛЧ \( = 1 - \text{tg}^2 \alpha + 2\text{tg}^2 \alpha \) ЛЧ \( = 1 + \text{tg}^2 \alpha \) Известно, что \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). Таким образом, ЛЧ \( = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). Правая часть (ПЧ) тождества: \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). Так как ЛЧ \( = \) ПЧ, то тождество доказано. Что и требовалось доказать.