Решение задачи №118: Коды из букв

Решение задачи № 118: Условие: Вася составляет 5-буквенные коды из букв Н, И, Ч, Ь, Я. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз. Код не может начинаться с буквы Ь и не может содержать сочетание ЬИЯ. Сколько различных кодов может составить Вася? Ход решения: 1. Найдем общее количество возможных кодов без учета ограничений. Так как букв 5 и каждая используется по одному разу, это количество перестановок из 5 элементов: \[ P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \] 2. Вычтем количество кодов, которые начинаются с буквы Ь. Если на первом месте стоит Ь, то на оставшихся 4 местах можно переставить оставшиеся 4 буквы (Н, И, Ч, Я): \[ P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \] Количество кодов, удовлетворяющих первому условию (не начинаются с Ь): \[ 120 - 24 = 96 \] 3. Теперь из этих 96 кодов нужно вычесть те, которые содержат сочетание ЬИЯ. Рассмотрим сочетание ЬИЯ как один неделимый блок (символ). Тогда у нас остаются "символы": (ЬИЯ), Н, Ч. Всего 3 элемента. Количество их перестановок: \[ P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \] Выпишем эти 6 вариантов, чтобы проверить, не начинаются ли они на Ь: 1) (ЬИЯ) Н Ч — начинается на Ь. 2) (ЬИЯ) Ч Н — начинается на Ь. 3) Н (ЬИЯ) Ч 4) Ч (ЬИЯ) Н 5) Н Ч (ЬИЯ) 6) Ч Н (ЬИЯ) Как мы видим, варианты 1 и 2 начинаются с буквы Ь. Но мы их уже вычли на предыдущем шаге (в пункте 2), когда убирали все слова на Ь. Следовательно, среди оставшихся 96 кодов есть только 4 кода, содержащих сочетание ЬИЯ (варианты 3, 4, 5 и 6). 4. Вычислим итоговое количество кодов: \[ N = 96 - 4 = 92 \] Ответ: 92.