Решение:

Задание: Сравнение чисел с единицей с помощью свойств показательной функции \( y = a^x \). Правило: 1. Если \( a > 1 \), то функция возрастает. При \( x > 0 \) значение \( a^x > 1 \), при \( x < 0 \) значение \( a^x < 1 \). 2. Если \( 0 < a < 1 \), то функция убывает. При \( x > 0 \) значение \( a^x < 1 \), при \( x < 0 \) значение \( a^x > 1 \). Решение для каждой карточки: 1) \( 2^0 \) Любое число в нулевой степени (кроме нуля) равно 1. Ответ: \( 2^0 = 1 \) 2) \( 5^{0,2} \) Основание \( a = 5 > 1 \), показатель \( x = 0,2 > 0 \). Функция возрастает. Ответ: \( 5^{0,2} > 1 \) 3) \( 0,3^{2\sqrt{5}} \) Основание \( a = 0,3 < 1 \), показатель \( x = 2\sqrt{5} > 0 \). Функция убывает. Ответ: \( 0,3^{2\sqrt{5}} < 1 \) 4) \( \left( \frac{100\pi}{314} \right)^{100} \) Так как \( \pi \approx 3,14159... \), то \( 100\pi \approx 314,159... \). Следовательно, \( \frac{100\pi}{314} > 1 \). При возведении числа больше единицы в положительную степень получаем число больше 1. Ответ: \( \left( \frac{100\pi}{314} \right)^{100} > 1 \) 5) \( \left( \frac{e}{2} \right)^{2,7} \) Число \( e \approx 2,718 \). Значит, \( \frac{e}{2} \approx \frac{2,718}{2} = 1,359 > 1 \). Основание больше 1, показатель \( 2,7 > 0 \). Ответ: \( \left( \frac{e}{2} \right)^{2,7} > 1 \) 6) \( e^{-2} \) Основание \( e \approx 2,718 > 1 \), показатель \( x = -2 < 0 \). Функция возрастает, но так как степень отрицательная, значение меньше 1. Ответ: \( e^{-2} < 1 \) 7) \( \left( \frac{1}{3} \right)^{-\pi} \) Основание \( a = \frac{1}{3} < 1 \), показатель \( x = -\pi < 0 \). При отрицательном показателе и основании меньше 1 значение функции больше 1. (Или: \( (\frac{1}{3})^{-\pi} = 3^{\pi} \), где \( 3 > 1 \) и \( \pi > 0 \)). Ответ: \( \left( \frac{1}{3} \right)^{-\pi} > 1 \) 8) \( 3^{-\frac{1}{2}} \) Основание \( a = 3 > 1 \), показатель \( x = -\frac{1}{2} < 0 \). Ответ: \( 3^{-\frac{1}{2}} < 1 \)