Вопрос 28
Вычислить \(i^{33}\)
Решение:
Степени мнимой единицы \(i\) повторяются с циклом 4:
- \(i^1 = i\)
- \(i^2 = -1\)
- \(i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i\)
- \(i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1\)
Чтобы вычислить \(i^{33}\), нужно найти остаток от деления показателя степени (33) на 4.
Разделим 33 на 4:
\[ 33 \div 4 = 8 \text{ с остатком } 1 \]Это означает, что \(33 = 4 \cdot 8 + 1\).
Тогда \(i^{33}\) можно записать как:
\[ i^{33} = i^{4 \cdot 8 + 1} = (i^4)^8 \cdot i^1 \]Так как \(i^4 = 1\), то:
\[ (i^4)^8 \cdot i^1 = (1)^8 \cdot i = 1 \cdot i = i \]Таким образом, \(i^{33} = i\).
Ответ: \(i\)
Вопрос 29
Даны комплексные числа \(z_1 = 13 + i\) и \(z_2 = 7 - 6i\). Найти частное \(\frac{z_1}{z_2}\). Ответ записать в виде \(x + yi\).
Решение:
Чтобы разделить два комплексных числа, нужно умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Для числа \(z_2 = 7 - 6i\), сопряженное число будет \(\overline{z_2} = 7 + 6i\).
Вычислим \(\frac{z_1}{z_2}\):
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{13 + i}{7 - 6i} \]Умножим числитель и знаменатель на \((7 + 6i)\):
\[ \frac{13 + i}{7 - 6i} = \frac{(13 + i)(7 + 6i)}{(7 - 6i)(7 + 6i)} \]Раскроем скобки в числителе:
\[ (13 + i)(7 + 6i) = 13 \cdot 7 + 13 \cdot 6i + i \cdot 7 + i \cdot 6i \] \[ = 91 + 78i + 7i + 6i^2 \]Так как \(i^2 = -1\), то \(6i^2 = 6(-1) = -6\).
\[ = 91 + 78i + 7i - 6 \] \[ = (91 - 6) + (78i + 7i) = 85 + 85i \]Раскроем скобки в знаменателе (используем формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)):
\[ (7 - 6i)(7 + 6i) = 7^2 - (6i)^2 \] \[ = 49 - 36i^2 \]Так как \(i^2 = -1\), то \(-36i^2 = -36(-1) = 36\).
\[ = 49 + 36 = 85 \]Теперь подставим полученные значения обратно в дробь:
\[ \frac{85 + 85i}{85} \]Разделим каждый член числителя на знаменатель:
\[ \frac{85}{85} + \frac{85i}{85} = 1 + i \]Таким образом, частное \(\frac{z_1}{z_2}\) равно \(1 + i\).
Ответ: \(1 + i\)