Задача: Вычислить интеграл
\[ \oint_{|z-3|=1} \frac{5+z^2+z \cos z}{(z+3)^2(z^2+1)} dz \]Решение:
1. Определим контур интегрирования. Контур \(C\) задан уравнением \(|z-3|=1\). Это окружность с центром в точке \(z_0 = 3\) и радиусом \(R = 1\).
2. Найдем особые точки подынтегральной функции \(f(z) = \frac{5+z^2+z \cos z}{(z+3)^2(z^2+1)}\).
Особые точки - это корни знаменателя:
- \((z+3)^2 = 0 \Rightarrow z_1 = -3\) (полюс второго порядка)
- \(z^2+1 = 0 \Rightarrow z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm i\). То есть \(z_2 = i\) и \(z_3 = -i\) (простые полюсы).
3. Проверим, какие из этих особых точек попадают внутрь контура \(|z-3|=1\).
- Для \(z_1 = -3\): \(|-3-3| = |-6| = 6\). Так как \(6 > 1\), точка \(z_1 = -3\) находится вне контура.
- Для \(z_2 = i\): \(|i-3| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\). Так как \(\sqrt{10} \approx 3.16 > 1\), точка \(z_2 = i\) находится вне контура.
- Для \(z_3 = -i\): \(|-i-3| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\). Так как \(\sqrt{10} \approx 3.16 > 1\), точка \(z_3 = -i\) находится вне контура.
4. Поскольку все особые точки подынтегральной функции находятся вне контура интегрирования \(|z-3|=1\), функция \(f(z)\) является аналитической внутри и на этом контуре.
5. По интегральной теореме Коши, если функция \(f(z)\) аналитична внутри и на замкнутом контуре \(C\), то интеграл от этой функции по контуру \(C\) равен нулю.
\[ \oint_C f(z) dz = 0 \]Ответ: \(0\)