Решение уравнения 4^x - 2^(x+3) + 16 = 0

Решение показательного уравнения: \[ 4^x - 2^{x+3} + 16 = 0 \] 1. Преобразуем слагаемые уравнения к одному основанию \( 2 \): Так как \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \), а \( 2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x \), уравнение примет вид: \[ 2^{2x} - 8 \cdot 2^x + 16 = 0 \] 2. Введем замену переменной: Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда уравнение становится квадратным: \[ t^2 - 8t + 16 = 0 \] 3. Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат (формула \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)): \[ (t - 4)^2 = 0 \] 4. Находим значение \( t \): \[ t - 4 = 0 \] \[ t = 4 \] Полученное значение удовлетворяет условию \( t > 0 \). 5. Выполняем обратную замену: \[ 2^x = 4 \] \[ 2^x = 2^2 \] \[ x = 2 \] Ответ: \( x = 2 \).