Решение задачи: передаточное число и окружная скорость колеса

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Задача №3
Дано:
\(P = 20 \text{ кВт}\)
\(n_1 = 15 \text{ об/мин}\)
\(n_2 = 30 \text{ об/мин}\)
\(Z_1 = 25\)
\(Z_2 = 50\)
\(D_{w1} = 335 \text{ мм}\)
\(D_{w2} = 294 \text{ мм}\)
\(D_{w1}' = 800 \text{ мм}\)
\(D_{w2}' = 570 \text{ мм}\)
\(Y_{ба} = 1,25\)
Определить:
1. Передаточное число
2. Окружную скорость колеса
Решение:
1. Определим передаточное число \(i\).
Передаточное число можно найти по отношению числа зубьев или по отношению частот вращения.
По числу зубьев:
\[i = \frac{Z_2}{Z_1}\]
\[i = \frac{50}{25} = 2\]
По частотам вращения:
\[i = \frac{n_1}{n_2}\]
\[i = \frac{15 \text{ об/мин}}{30 \text{ об/мин}} = 0,5\]
В данном случае, судя по контексту задачи, где даны два набора диаметров, речь идет о двух ступенях или двух вариантах расчета. Если \(Z_1\) и \(Z_2\) относятся к одной паре, а \(n_1\) и \(n_2\) к другой, то результаты будут разными. Однако, обычно передаточное число определяется как отношение числа зубьев ведомого колеса к числу зубьев ведущего колеса, или отношение частоты вращения ведущего вала к частоте вращения ведомого вала.
Если \(Z_1\) - число зубьев ведущего колеса, а \(Z_2\) - ведомого, то:
\[i = \frac{Z_2}{Z_1} = \frac{50}{25} = 2\]
Если \(n_1\) - частота вращения ведущего вала, а \(n_2\) - ведомого, то:
\[i = \frac{n_1}{n_2} = \frac{15}{30} = 0,5\]
Возможно, в условии задачи есть неточность или подразумевается, что \(n_1\) и \(n_2\) относятся к разным валам, но не обязательно к той же паре, что и \(Z_1\) и \(Z_2\).
Предположим, что \(Z_1\) и \(Z_2\) относятся к одной передаче, а \(n_1\) и \(n_2\) к другой. Или же, что \(n_1\) и \(n_2\) - это частоты вращения ведущего и ведомого валов соответственно, а \(Z_1\) и \(Z_2\) - числа зубьев этих же колес. В таком случае, должно быть \(i = \frac{Z_2}{Z_1} = \frac{n_1}{n_2}\).
Так как \(2 \neq 0,5\), то данные \(Z_1, Z_2\) и \(n_1, n_2\) относятся к разным передачам или к разным условиям.
Если задача просит определить передаточное число в общем, то мы можем рассмотреть два варианта:
Вариант 1 (по зубьям): \(i = 2\)
Вариант 2 (по оборотам): \(i = 0,5\)
Для дальнейших расчетов окружной скорости, нам нужно выбрать, к какой передаче мы будем ее считать. Обычно, если не указано иное, используют данные, которые логически связаны.
Давайте предположим, что \(Z_1\) и \(Z_2\) относятся к первой передаче, а \(D_{w1}\) и \(D_{w2}\) - это диаметры делительных окружностей этих колес.
Тогда передаточное число \(i = \frac{Z_2}{Z_1} = \frac{50}{25} = 2\).
2. Определим окружную скорость колеса.
Окружная скорость \(v\) определяется по формуле:
\[v = \frac{\pi \cdot D \cdot n}{60}\]
где \(D\) - диаметр колеса (в метрах), \(n\) - частота вращения (в об/мин).
У нас есть два набора диаметров и две частоты вращения.
Рассмотрим первый набор диаметров \(D_{w1} = 335 \text{ мм}\) и \(D_{w2} = 294 \text{ мм}\).
Переведем диаметры в метры:
\(D_{w1} = 335 \text{ мм} = 0,335 \text{ м}\)
\(D_{w2} = 294 \text{ мм} = 0,294 \text{ м}\)
Рассчитаем окружную скорость для первого колеса с \(n_1 = 15 \text{ об/мин}\):
\[v_1 = \frac{\pi \cdot D_{w1} \cdot n_1}{60} = \frac{3,14159 \cdot 0,335 \text{ м} \cdot 15 \text{ об/мин}}{60} \approx 0,263 \text{ м/с}\]
Рассчитаем окружную скорость для второго колеса с \(n_2 = 30 \text{ об/мин}\):
\[v_2 = \frac{\pi \cdot D_{w2} \cdot n_2}{60} = \frac{3,14159 \cdot 0,294 \text{ м} \cdot 30 \text{ об/мин}}{60} \approx 0,462 \text{ м/с}\]
Если это одна передача, то окружные скорости на делительных окружностях должны быть равны. В данном случае они не равны, что указывает на то, что \(D_{w1}\) и \(D_{w2}\) не являются делительными диаметрами одной и той же передачи, или \(n_1\) и \(n_2\) не соответствуют этим диаметрам в одной передаче.
Возможно, \(D_{w1}\) и \(D_{w2}\) - это диаметры разных колес, а \(n_1\) и \(n_2\) - их соответствующие скорости.
Рассмотрим второй набор диаметров \(D_{w1}' = 800 \text{ мм}\) и \(D_{w2}' = 570 \text{ мм}\).
Переведем диаметры в метры:
\(D_{w1}' = 800 \text{ мм} = 0,800 \text{ м}\)
\(D_{w2}' = 570 \text{ мм} = 0,570 \text{ м}\)
Рассчитаем окружную скорость для первого колеса с \(n_1 = 15 \text{ об/мин}\):
\[v_1' = \frac{\pi \cdot D_{w1}' \cdot n_1}{60} = \frac{3,14159 \cdot 0,800 \text{ м} \cdot 15 \text{ об/мин}}{60} \approx 0,628 \text{ м/с}\]
Рассчитаем окружную скорость для второго колеса с \(n_2 = 30 \text{ об/мин}\):
\[v_2' = \frac{\pi \cdot D_{w2}' \cdot n_2}{60} = \frac{3,14159 \cdot 0,570 \text{ м} \cdot 30 \text{ об/мин}}{60} \approx 0,895 \text{ м/с}\]
В условии задачи не указано, для какого именно колеса и при каких условиях нужно определить окружную скорость. Если речь идет об одной передаче, то окружные скорости на делительных окружностях должны быть равны. Поскольку это не так для данных пар, можно предположить, что это данные для разных передач или разных колес.
Если задача подразумевает "определить окружную скорость колеса" в общем, то мы можем выбрать любое из колес и рассчитать для него скорость.
Давайте рассчитаем окружную скорость для колеса с \(D_{w1} = 335 \text{ мм}\) при \(n_1 = 15 \text{ об/мин}\).
\[v = \frac{\pi \cdot D_{w1} \cdot n_1}{60} = \frac{3,14159 \cdot 0,335 \text{ м} \cdot 15 \text{ об/мин}}{60} \approx 0,263 \text{ м/с}\]
Ответ:
1. Передаточное число (по числу зубьев) \(i = 2\).
2. Окружная скорость колеса (например, для колеса с \(D_{w1} = 335 \text{ мм}\) при \(n_1 = 15 \text{ об/мин}\)) \(v \approx 0,263 \text{ м/с}\).
Примечание: Если бы в задаче было указано, что \(D_{w1}\) и \(D_{w2}\) являются делительными диаметрами одной передачи, а \(n_1\) и \(n_2\) - соответствующими частотами вращения, то окружные скорости на делительных окружностях должны были бы быть равны. Неравенство скоростей указывает на то, что эти данные относятся к разным элементам или условиям. Для однозначного ответа требуется уточнение условия задачи.